数学建模教程及例题分析

《数学建模教程及例题分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模教程及例题分析（43页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、数 学 建 模 初 步共 享 资 源 :密 码 ： 数 学 模 型 初 步 总 论v 一 、 模 型 ？v 模 型 是 实 物 、 过 程 的 表 示 ， 可 能 是 对 实 体 的 模 仿 、模 拟 ， 也 可 能 是 某 些 基 本 属 性 的 抽 象 。v 二 、 数 学 模 型 ？v 对 所 研 究 的 对 象 进 行 模 拟 ， 是 用 数 学 思 维 方 法 将要 解 决 的 问 题 进 行 简 化 、 抽 象 处 理 ， 用 数 学 符 号 、公 式 、 图 表 等 刻 画 实 物 本 质 属 性 及 内 在 规 律 。v 是 联 系 实 际 问 题 与 数 学 的 一 座 桥

2、梁 。 数 学 模 型 初 步 总 论v三 、 适 用 的 范 围 ？v社 会 、 经 济 、 环 境 、 生 态 、 医 学 等 等 领 域 。v要 建 立 一 个 好 的 数 学 模 型 ， 不 尽 需 要 数 学 的知 识 ， 还 必 须 了 解 其 他 领 域 内 与 之 相 关 的 内容 。 数 学 模 型 初 步 模 型 一v车 辆 的 停 止 距 离v正 常 的 驾 驶 条 件 对 车 与 车 的 跟 随 距 离 的 要 求是 每 十 英 里 的 速 率 可 以 允 许 一 辆 车 的 跟 随 距离 ， 但 是 在 不 利 的 天 气 或 道 路 条 件 下 要 有 更长 的 跟

3、 随 距 离 。v如 何 处 理 不 利 的 情 况 ？v两 秒 钟 法 则 v不 管 车 速 多 少 ， 看 着 你 前 面 的 车 子 刚 驶 过 你能 确 定 的 固 定 点 ， 然 后 默 数 “ 一 千 零 一 ， 一千 零 二 ” ， 如 果 你 刚 数 完 就 到 了 那 个 固 定 点 ，就 表 示 你 与 前 车 靠 的 太 近 。 数 学 模 型 初 步 模 型 一v识 别 问 题 ：v该 法 则 是 否 很 好 ？ 太 模 糊 ！ 最 好 提 出 一 个 新的 问 题 ， 该 问 题 的 解 决 和 回 答 有 助 于 我 们 进行 更 为 精 确 地 数 学 分 析 ，

4、 并 同 时 实 现 目 标 。v问 题 陈 述 ：v预 测 作 为 车 辆 速 率 的 函 数 的 车 辆 的 总 的 停 止距 离 。v问 题 假 设 ：v围 绕 一 个 很 明 显 的 原 理 进 行 假 设 ：v总 的 停 止 距 离 =反 应 距 离 +刹 车 距 离 数 学 模 型 初 步 模 型 一v反 应 距 离 ？v司 机 从 意 识 到 要 停 车 的 时 刻 到 真 正 刹 车 时 刻 期间 车 辆 走 过 的 距 离v刹 车 距 离 ？v刹 车 后 使 车 辆 完 全 停 下 来 所 滑 行 的 距 离 。v反 应 距 离 相 关 的 子 模 型 ：v反 应 距 离 =

5、f（ 反 应 时 间 ， 速 率 ）v相 关 影 响 因 素 ： 个 体 驾 驶 因 素 ， 系 统 时 间 （ 几乎 可 以 忽 略 ， 原 因 是 现 代 车 辆 比 较 安 全 ） （ 子模 型 一 ） 数 学 模 型 初 步 模 型 一v个 体 驾 驶 因 素 的 反 应 时 间 又 由 反 射 的 本 能 、警 觉 程 度 、 能 见 度 等 多 重 因 素 决 定 。 但 由 于我 们 是 研 究 一 个 一 般 的 规 律 ， 所 以 只 在 研 究中 取 以 上 几 因 素 的 平 均 值v反 应 距 离 的 影 响 因 素 考 察 完 毕 ， 一 下 是 对 影响 刹 车 距

6、 离 的 因 素 考 察 。v最 最 最 最 重 要 的 是 ： 车 身 总 量 ， 行 驶 速 度 。v相 关 合 理 因 素 ： 刹 车 的 效 率 ， 车 胎 类 型 和 状态 ， 道 路 表 面 的 情 况 ， 天 气 条 件 等 。 为 了 研究 方 便 ， 仍 然 取 这 些 因 素 的 平 均 值 。 数 学 模 型 初 步 模 型 一v刹 车 距 离 =h（ 重 量 ， 速 率 ） （ 子 模 型 二 ）v总 结 建 模 过 程 ：v1.识 别 问 题 ；v对 现 象 做 一 般 性 观 察v2.做 出 假 设 ；v关 于 现 象 的 假 设 、 研 制 检 验 假 设 方 法

7、 、 用 数 据检 验 假 设v3.求 解 模 型 ；v4.验 证 模 型 ； 数 学 模 型 初 步 模 型 二1.3.1 椅 子 能 在 不 平 的 地 面 上 放 稳 吗问 题 分 析模型假设 通 常 三 只 脚 着 地 放 稳 四 只 脚 着 地 四 条 腿 一 样 长 ， 椅 脚 与 地 面 点 接 触 ， 四 脚连 线 呈 正 方 形 ; 地 面 高 度 连 续 变 化 ， 可 视 为 数 学 上 的 连 续曲 面 ; 地 面 相 对 平 坦 ， 使 椅 子 在 任 意 位 置 至 少 三只 脚 同 时 着 地 。 模 型 构 成用 数 学 语 言 把 椅 子 位 置 和 四 只

8、脚 着 地 的 关 系 表 示 出 来 椅 子 位 置 利 用 正 方 形 (椅 脚 连 线 )的 对 称 性 xB ADC O DC B A 用 (对 角 线 与 x轴 的 夹 角 )表 示 椅 子 位 置 四 只 脚 着 地 距 离 是 的 函 数四 个 距 离(四 只 脚 )A,C 两 脚 与 地 面 距 离 之 和 f()B,D 两 脚 与 地 面 距 离 之 和 g()两 个 距 离 椅 脚 与 地 面 距 离 为 零 正 方 形 ABCD绕 O点 旋 转正 方 形对 称 性数 学 模 型 初 步 模 型 二 用 数 学 语 言 把 椅 子 位 置 和 四 只 脚 着 地 的 关 系

9、 表 示 出 来f() , g()是 连 续 函 数对 任 意 , f(), g()至 少 一 个 为 0数 学问 题 已 知 ： f() , g()是 连 续 函 数 ; 对 任 意 ， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证 明 ： 存 在 0， 使 f(0) = g(0) = 0. 模 型 构 成地 面 为 连 续 曲 面 椅 子 在 任 意 位 置至 少 三 只 脚 着 地数 学 模 型 初 步 模 型 二 模 型 求 解给 出 一 种 简 单 、 粗 糙 的 证 明 方 法将 椅 子 旋 转 900， 对 角 线 AC和 BD互 换 。由 g(0)=0， f(

10、0) 0 ， 知 f(/2)=0 , g(/2)0.令 h()= f()g(), 则 h(0)0和 h(/2)0.由 f, g的 连 续 性 知 h为 连 续 函 数 , 据 连 续 函 数 的 基 本 性质 , 必 存 在 0 , 使 h(0)=0, 即 f(0) = g(0) .因 为 f() g()=0, 所 以 f(0) = g(0) = 0.评 注 和 思 考 建 模 的 关 键 考 察 四 脚 呈 长 方 形 的 椅 子和 f(), g()的 确 定数 学 模 型 初 步 模 型 二 数 学 建 模 的 一 般 步 骤模 型 准 备 模 型 假 设 模 型 构 成模 型 求 解模

11、型 分 析模 型 检 验模 型 应 用模型准备 了 解 实 际 背 景 明 确 建 模 目 的搜 集 有 关 信 息 掌 握 对 象 特 征 形 成 一 个比 较 清 晰的 问 题 模型假设 针 对 问 题 特 点 和 建 模 目 的作 出 合 理 的 、 简 化 的 假 设在 合 理 与 简 化 之 间 作 出 折 中模型构成 用 数 学 的 语 言 、 符 号 描 述 问 题发 挥 想 像 力 使 用 类 比 法尽 量 采 用 简 单 的 数 学 工 具 数 学 建 模 的 一 般 步 骤 模 型求 解 各 种 数 学 方 法 、 软 件 和 计 算 机 技 术如 结 果 的 误 差 分

12、析 、 统 计 分 析 、模 型 对 数 据 的 稳 定 性 分 析模 型分 析模 型检 验 与 实 际 现 象 、 数 据 比 较 ，检 验 模 型 的 合 理 性 、 适 用 性模 型 应 用 数 学 建 模 的 一 般 步 骤 数 学 建 模 的 全 过 程现 实 对 象 的 信 息 数 学 模 型现 实 对 象 的 解 答 数 学 模 型 的 解 答表 述 求 解解 释验 证 (归 纳 ) (演 绎 )表 述求 解解 释验 证 根 据 建 模 目 的 和 信 息 将 实 际 问 题 “ 翻 译 ” 成 数 学 问题 选 择 适 当 的 数 学 方 法 求 得 数 学 模 型 的 解 答

13、将 数 学 语 言 表 述 的 解 答 “ 翻 译 ” 回 实 际 对 象用 现 实 对 象 的 信 息 检 验 得 到 的 解 答实 践现实世界 数学世界理 论 实 践 数 学 模 型 初 步 线 性 规 划w 例 1-1.某 木 匠 制 作 桌 子 和 书 架 出 售 ， 他 希 望 确定 每 种 家 具 每 周 制 作 多 少 ， 即 希 望 制 定 制 作 桌子 和 书 架 的 周 生 产 计 划 ， 使 获 得 利 润 最 大 。 制作 桌 子 和 书 架 的 单 位 成 本 分 别 是 5美 元 和 7美元 。 每 周 收 益 可 以 分 别 用 下 面 的 表 达 式 估 计 ：

14、w 其 中 是 每 周 生 产 桌 子 数 量 ；w 21 150 0.2x x 1x22 2 265 0.3 ,x x x 其 中 是 每 周 生 产 的 书 架 的 数 量 ； 数 学 模 型 初 步 线 性 规 划w 线 性 规 划 问 题 中 几 个 相 关 概 念 ：w 目 标 函 数 ：w 决 策 变 量 ：w 约 束 条 件 ： 无 约 束 2 21 2 1 1 2 2 1 2( , ) 50 0.2 65 0.3 5 7f x x x x x x x x 1 2x x和 数 学 模 型 初 步 线 性 规 划w 例 1-2假 设 木 匠 销 售 桌 子 和 书 架 的 单 位

15、净 利 润分 别 是 25美 元 和 30美 元 ， 他 希 望 确 定 每 种 家具 每 周 制 作 多 少 ， 他 每 周 最 多 有 600张 木 板 可以 使 用 ， 并 且 每 周 最 多 工 作 40小 时 。 如 果 木板 和 劳 动 时 间 不 用 于 生 产 桌 子 和 书 架 ， 他 能 够将 他 们 有 效 地 使 用 在 其 他 方 面 。 据 估 计 ， 生 产一 张 桌 子 需 要 20张 木 板 和 5小 时 劳 动 时 间 ， 生产 一 个 书 架 需 要 30张 木 板 和 4小 时 劳 动 时 间 。此 外 ， 他 已 经 签 订 了 每 周 供 应 4张

16、桌 子 和 2个书 架 的 交 货 合 同 。 他 希 望 确 定 桌 子 和 书 架 的 周生 产 计 划 ， 使 获 得 的 利 润 最 大 。 数 学 模 型 初 步 线 性 规 划w 目 标 函 数 ：w 约 束 条 件 ：木 板 约 束 ：劳 动 时 间 约 束 ：合 同 约 束 ： 1 2 1 2( , ) 25 30f x x x x 1 220 30 600 x x 1 25 4 40 x x 1 24, 2x x 数 学 模 型 初 步 LINGO的 使 用LINGO的 界 面 LINGO软 件 的 主 窗 口 （ 用户 界 面 ） ， 所 有 其 他 窗 口都 在 这 个

17、窗 口 之 内 。 模 型 窗 口 （ Model Window） ， 用 于 输 入LINGO优 化 模 型 （ 即LINGO程 序 ） 。 状 态 行 （ 最 左 边 显示 “ Ready”， 表 示 “ 准 备 就 绪 ” ） 当 前 时 间 当 前 光 标的 位 置 数 学 模 型 初 步 一 个 简 单 的 LINGO程 序例 直 接 用 LINGO来 解 如 下 二 次 规 划 问 题 ： 40, 32 2100. 123.027798 21 21 21 22212121 为 整 数 xx xx xxts xxxxxxMax输 入 窗 口 如 下 ： 程 序 语 句 输 入 的 备

18、 注 ：LINGO总 是 根 据 “ MAX=”或 “ MIN=”寻 找 目 标 函 数 ，而 除 注 释 语 句 和 TITLE语 句 外 的 其 他 语 句 都 是 约 束 条件 ， 因 此 语 句 的 顺 序 并 不 重 要 。限 定 变 量 取 整 数 值 的 语 句 为 “ GIN(X1)”和“ GIN(X2)”， 不 可 以 写 成 “ GIN(2)”， 否 则LINGO将 把 这 个 模 型 看 成 没 有 整 数 变 量 。LINGO中 函 数 一 律 需 要 以 “ ”开 头 ， 其 中 整 型 变 量函 数 （ BIN、 GIN） 和 上 下 界 限 定 函 数 （ FRE

19、E、SUB、 SLB） 与 LINDO中 的 命 令 类 似 。 而 且 0/1变量 函 数 是 BIN函 数 。 输 出 结 果 ：运 行 菜 单 命 令 “ LINGO|Solve” 最 优 整 数 解X=(35， 65) 最 大 利 润 =11077.5 运 行 状 态 窗 口Variables（ 变 量 数 量 ） ： 变 量 总 数 （ Total） 、 非 线 性 变 量 数 （ Nonlinear） 、 整 数 变 量 数 （ Integer） 。Constraints（ 约 束 数 量 ） ： 约 束 总 数 （ Total） 、 非 线 性 约 束 个 数 (Nonlinea

20、r)。Nonzeros（ 非 零 系 数 数 量 ） ： 总 数 （ Total） 、 非 线 性 项 系 数 个 数 (Nonlinear)。Generator Memory Used (K) (内 存 使 用量 ) Elapsed Runtime (hh:mm:ss)（ 求 解 花 费 的 时 间 ） 运 行 状 态 窗 口求 解器 (求解 程序 )状态 框 当 前 模 型 的 类 型 :LP， QP， ILP， IQP， PILP， PIQP， NLP， INLP， PINLP （ 以 I开 头 表 示IP， 以 PI开 头 表 示 PIP） 当 前 解 的 状 态 : Global O

21、ptimum, Local Optimum, Feasible, Infeasible“(不 可 行 ), Unbounded“(无 界 ), Interrupted“(中 断 ), Undetermined“(未 确 定 ) 解 的 目 标 函 数 值 当 前 约 束 不 满 足 的 总 量 (不 是 不满 足 的 约 束 的 个 数 ):实 数 （ 即 使该 值 =0， 当 前 解 也 可 能 不 可 行 ，因 为 这 个 量 中 没 有 考 虑 用 上 下 界命 令 形 式 给 出 的 约 束 ） 目 前 为 止 的迭 代 次 数 nxxx , , 21 nxxx , , 21nxxx

22、, , 21 nxxx , , 21 用数学语言描述，线性规划问题的的数学模型为： 目 标 函 数 约 束 条 件 为 ： nnxcxcxczMinMax 2211)( 0 ) ,( ) ,( ) ,(2211 22222121 11212111 n mnmnmm nn nnxxx bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa , , , 21 数 学 模 型 初 步 LINGO使 用 注 意 点LINGO的 基 本 用 法 的 几 点 注 意 事 项 LINGO中 不 区 分 大 小 写 字 母 ； 变 量 和 行 名 可 以 超 过 8个 字 符 ， 但不 能 超 过 32个 字 符 ，

23、 且 必 须 以 字 母 开 头 。用 LINGO解 优 化 模 型 时 已 假 定 所 有 变 量 非 负 (除 非 用 限 定 变 量 取值 范 围 的 函 数 free或 sub或 slb另 行 说 明 )。变 量 可 以 放 在 约 束 条 件 的 右 端 (同 时 数 字 也 可 放 在 约 束 条 件 的 左端 )。 但 为 了 提 高 LINGO求 解 时 的 效 率 ， 应 尽 可 能 采 用 线 性 表 达式 定 义 目 标 和 约 束 (如 果 可 能 的 话 )。语 句 是 组 成 LINGO模 型 的 基 本 单 位 ,每 个 语 句 都 以 分 号 结 尾 ， 编写

24、程 序 时 应 注 意 模 型 的 可 读 性 。 例 如 ： 一 行 只 写 一 个 语 句 ， 按 照语 句 之 间 的 嵌 套 关 系 对 语 句 安 排 适 当 的 缩 进 ， 增 强 层 次 感 。以 感 叹 号 开 始 的 是 说 明 语 句 (说 明 语 句 也 需 要 以 分 号 结 束 )） 。 数学模型初步运输问题模型 产 销 平 衡 模 型 某 产 品 的 生 产 有 个 产 地 ， 其 生 产 量 分 别为 ， 而 该 产 品 的 销 售 有 个 销 地 其 需 要 量 分 别 为 ， 已 知 该 产 品 从 产 地 到 销 地 的 单 位 运 价 为 ， 试 建 立该

25、 运 输 问 题 的 线 性 规 划 模 型 。v 解 ： 假 设 从 产 地 到 销 地 的运 输 量 为 ， 因 从 产 地 到 销 地 的 单 位 运 价为 ， 我 们 可 把 运 输 量 （ ） 汇 总 于 产 销 平 衡 表 中 ，而 把 单 位 运 价 汇 总 于 单 位运 价 表 中 （ 见 下 表 ） 。 m miAi ,2,1 miai ,2,1 , n njBj ,2,1 ,njbj ,2,1 , njmicij ,2,1 ;,2,1 miA i ,2,1 njBj ,2,1 ijx iAjB njmicij ,2,1 ;,2,1 ijxnjmi ,2,1 ;,2,1 nj

26、micij ,2,1 ;,2,1 iA jB 产 销 平 衡 表 单 位 运 价 表 产 地 销 地 1 2 n 产 量12m 销 量 11x 12x nx121x 22x nx21mx 2mx mnx 1a2ama 1b 2b nb 产 地销 地 1 2 n1 2 m 11c 12c nc121c 22c nc2 1mc 2mc mnc mi nj ijijmnmnmmmm xcxcxcxcxcxcz 1 1221112121111 min mi jij njbx1 ,2,1 nj iij miax1 ,2,1 0 ijx n 在 实 际 问 题 的 应 用 中 ， 若 出 现 产 销 不

27、平 衡 的 情形 时 ， 需 要 把 产 销 不 平 衡 问 题 转 化 为 产 销 平 衡问 题 来 进 行 讨 论 。 例 当 产 量 大 于 销 量 时 ，只 需 增 加 一 个 虚 拟 的 销 地 ， 而 该 销 地的 需 要 量 为 即 可 。 销 量 大 于 产 量 的 情 形 类 同 。 mi ia1 nj ib11 nj mi nj ji ba1 1 nj ib1mi ia1 例 1.生 产 时 序 的 安 排 北 方 飞 机 公 司 为 全 球 各 航 空 公 司 制 造 商 用 飞 机 。 其 生产 过 程 之 最 后 阶 段 为 生 产 喷 射 引 擎 ， 然 后 装 置

28、 于 （ 一极 速 工 作 ） 制 妥 的 机 体 ， 该 公 司 有 若 干 近 期 必 须 交 付使 用 的 飞 机 的 合 同 ， 现 须 安 排 今 后 四 个 月 飞 机 喷 射 引擎 的 生 产 计 划 ， 并 须 于 每 月 末 分 别 提 供 10、 15、 25、20台 引 擎 。 已 知 该 公 司 各 月 的 生 产 能 力 和 生 产 每 台 引擎 的 成 本 如 下 表 6所 示 （ 单 位 ： 百 万 元 ） ， 又 如 果 生产 出 来 的 引 擎 当 月 不 能 交 货 的 ， 每 台 引 擎 每 积 压 一 个月 需 存 储 和 维 护 费 用 0.015百

29、万 元 ， 试 在 完 成 合 约 的情 况 下 ， 制 定 一 引 擎 数 量 的 生 产 安 排 方 案 ， 以 使 该 公司 今 后 四 个 月 的 生 产 费 用 最 小 。 生 产 成 本 表月 份 合 约 数 生 产 能力 单 位 成本 存 储 和 维护 费 1 10 25 1.08 0.0152 15 35 1.11 0.0153 25 30 1.10 0.0154 20 10 1.13 v 用 运 输 问 题 模 型 求 该 问 题 最 优 解 的 关 键 在 于 怎 样 建 立 该 问 题的 产 销 平 衡 表 及 元 素 和 单 位 运 价 表 及 元 素 。 v 为 此

30、， 我 们 假 设 表 示 第 月 生 产 并 用 于 第 月 交 货 的 引 擎 数 ，因 公 司 必 须 完 成 合 同 ， 则 应 满 足 ：v 又 每 月 生 产 的 用 于 当 月 和 以 后 各 月 交 货 的 引 擎 数 不 可 能 超 过该 公 司 的 实 际 生 产 能 力 ， 故 还 应 满 足 ： v ijx ijcijx i jijx 2025 15 10 44342414 332313 221211 xxxx xxx xxx ijx 10 30 35 25 44 3433 242322 14131211x xx xxx xxxx ij ijc jb ia i jb j

31、ijcji 0ijx Mcij 41 41 min i j ijij xcz 04141ijj jijiji iijijx bxc axc l 据 此 ， 我 们 可 求 出 其 最 优 解 为 ：l 相 应 的 最 小 生 产 费 用 为 ：l 故 今 后 四 个 月 引 擎 数 量 的 生 产 安 排 为 ：l 10 ,10 ,20 ,5 ,15 ,10 443433231211 xxxxxx 77.3 1013.110115.1201.15125.115095.11008.1 min 41 41 i j ijij xcz月 份 1 2 3 4引 擎 生 产 数量 25 5 30 10 数

32、 学 模 型 的 特 点 和 分 类模 型 的 逼 真 性 和 可 行 性模 型 的 渐 进 性模 型 的 强 健 性模 型 的 可 转 移 性 模 型 的 非 预 制 性模 型 的 条 理 性模 型 的 技 艺 性模 型 的 局 限 性 数 学 模 型 的 特 点 数 学 模 型 的 分 类应 用 领 域 人 口 、 交 通 、 经 济 、 生 态 数 学 方 法 初 等 数 学 、 微 分 方 程 、 规 划 、 统 计 表 现 特 性 描 述 、 优 化 、 预 报 、 决 策 建 模 目 的了 解 程 度 白 箱 灰 箱 黑 箱确 定 和 随 机 静 态 和 动 态线 性 和 非 线 性离 散 和 连 续 指 导 老 师 1班 :黄 雯 2班 ： 张 伟 伟论 文 必 须 使 用 公 式 编 辑 器