探索博弈现象 解决博弈难题

曹志刚教授

博弈论又称对策论，是研究多人互动决策即博弈的一门学科。无论是生活中的下棋、打牌，还是经济管理领域中的拍卖、谈判，甚至国际关系中的竞争与合作，都存在着博弈。而博弈论正是北京交通大学经济管理学院曹志刚教授的研究领域。

合作博弈

核（core）是合作博弈论中最重要的概念之一，核是否非空某种意义上意味着相应的场景下个体间能否达成合作。为了从理论上研究合作博弈与市场的关系，沙普利（Shapley）教授在1955 年提出了抽象市场博弈。这是一个很有解释力的模型，包含指派博弈等重要模型为特例，而后者是获得2012年诺贝尔经济学奖的市场设计理论中的基本模型之一。沙普利在文章中猜想任何超可加的抽象市场博弈的核永远非空。沙普利的文章被他本人多次引用，在上世纪六七十年代也曾得到德布鲁（Debreu）（诺奖得主）、斯卡夫（Scarf）（美国两院院士）和舒比克（Shubik）（美国艺术与科学院院士）等著名博弈论学家的关注。

曹志刚教授与美国加州大学圣塔芭芭拉分校秦承忠教授、中国科学院数学与系统科学研究院杨晓光研究员合作成功解决了这一有60多年历史的难题。论文于2018年3月发表于博弈论领域国际顶级期刊Games and Economic Behavior。

曹志刚教授与合作者证明了该猜想在参与人数目不超过 4 时成立，说明沙普利猜想在规模比较小时成立；他们举出一个5参与人反例说明沙普利猜想一般情形下可能不成立。更进一步，他们给出一个附加条件可以保证沙普利猜想成立，并证明指派博弈等重要模型满足该附加条件。曹志刚教授与合作者还证明奥苏贝尔（Ausubel）与米格罗姆（Milgrom）等 2002 年在拍卖研究中通过“买家次模性”（buyer submodularity）条件得到的一个核非空结论与研究成果的一个特例等价。

讨价还价博弈

纳什最早研究的讨价还价博弈是现实中经常见到的一种博弈形式，在博弈论的理论研究中处于非常特别的重要地位。

两位美国科学院外籍院士哈特（Hart）和马斯柯莱（Mas-Colell）提出的 HM 模型是讨价还价领域的个重要模型。曹志刚教授研究了 HM模型的变形 HM*，证明了两个参与人时， HM*模型均衡一定存在；3 个或 3 个以上参与人时，HM* 模型均衡不一定存在。该结果有一定的意外性，因为对于讨价还价模型，一般存在的问题是均衡过多，均衡不存在的情况很少；问题也有一定的困难性，因为需要分析参与人的所有最优策略。曹志刚教授还解决了 HM 模型的均衡计算问题，而原论文只给出了一特殊情形的计算公式。该算法在参与人数目为 2 和 3 时是多项式的。该问题有一定的困难性，因为即便只有2个参与人，求解任意一个纳什均衡也是困难的（PPAD完备），而原模型中使用的 SP 均衡是一个特殊的纳什均衡，较一般的纳什均衡复杂，而且 HM 讨价还价过程非常复杂。

网络博弈

曹志刚教授与合作者很早就关注网络硬币匹配博弈，并对网络硬币匹配博弈模型展开研究。该模型可以同时探索若干组重要话题，如协同与反协同、正网络外部性与负网络外部性、策略互补与策略替代、羊群效应与反羊群效应等。

对于网络硬匹配博弈，曹志刚教授与合作者证明了纯策略纳什衡存在性判定问题的 NP 困难性，给出了若干特殊网络上均衡判定和求解的有效算法，改进了美国科学院院士杰克逊（Jackson） 提出的纯策略纳什均衡存在性条件。在改进杰克逊 条件过程中，他们将蒙德勒（Monderer）和沙普利提出的势博弈理论拓展为部分势博弈。部分势博弈严格推广了势博弈，并且依然可以保证纯策略纳什均衡的存在性。

曹志刚教授与北京师范大学张博宇副教授等合作者使用网络硬币匹配博弈模型研究了时尚现象，修正了普林斯顿大学 培森多弗（Pesendorfer） 教授的观点，认为时尚周期的驱动力来自消费者，是不同类型消费者之间的互动在驱动时尚周期。他们发现不同类型消费者互动网络结构的趋同性指标（Homophily Index）的高低决定了时尚周期是否出现，即该指标越低时尚周期越容易出现。

博弈论的应用极其广泛，这也是博弈论的魅力所在。小到个人决策大到国际关系，都有博弈论施展威力的舞台。