2022-2023年高考数学压轴题专项练习 专题12 解密二项分布和超级几何分布的分别（试题+解析版）

一、解答题

1．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为.

(1)若出现故障的机器台数为，求的分布列；

(2) 该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？

(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.

【答案】(1) ;(2)．

即的分布列为：

（2）设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为，即，，，，这个互斥事件的和事件，则

%,

至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.

2．从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策. 为了解适龄民众对放开

生二胎政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎

的有4人，不打算生二胎的有6人.

(1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；

(2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；

【解析】试题分析：（1）由题可知服从超几何分布，的取值为0,1,2,3.则的分布列和数学期望易求：

(2)由题意可知服从二项分布，且.，则机变量的分布列和数学期望.可求

试题解析：（1）由题意知，的值为0,1,2,3.             

，，

，.                

∴的分布列为:

．

的分布列为：

．

3．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.

(1)请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关(2) 分布列为

故的数学期望为：

试题解析：

（1）由题意得“课外体育达标”人数：，

则不达标人数为150，∴列联表如下：

∴

∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关

4．甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题。规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选.

（I）求甲能入选的概率.

（II）求乙得分的分布列和数学期望；

【答案】（I）；（II）见解析.

【解析】试题分析：（I）由已知甲至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，，

（II）设乙答题所得分数为，则的可能取值为，由排列组合的知识分别可求其概率，进而可得其分布列，由期望的定义可得数学期望；

试题解析：（I）由已知甲至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，

则，

（II）设乙答题所得分数为，则的可能取值为

；；

；

其概率分布表如下：

.

5．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：

（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；

（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；

（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.

【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：

数学期望

【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出．

（3）年龄在的读书者有人，

年龄在的读书者有人，

所以的所有可能取值是0,1,2

，

，

，

的分布列如下：

数学期望.

6．某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

（1）能否由的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关？

（附：

当时，有的把握说事件与有关；当，认为事件与是无关的）

（2）已知既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有名男同学，名女同学.现从这名男同学和名女同学中选人参加综合素质大赛，求被选中的男生人数的分布列和期望.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据表格中的数据得到，此时可以下结论；（2）根据题意分别求出的取值为，，，，时的概率值，再写出分布列和期望值即可。

分布列为

期望.

7．某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分，现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，其茎叶图如下图所示：

（1）已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；

（2）已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人

①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）；

②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量表示通过预选赛的人数，求的分布列和数学期望.

正态分布参考数据：

【答案】(1) (2)4,

【解析】试题分析：(1)由茎叶图结合中位数与方差定义可得结果；

（2）①，该班学生成绩在的人数为.

②随机变量，显然服从二项分布，从而可得的分布列和数学期望.试题解析：

（1）由茎叶图可知这10个数据依次为，

中位数为，

由平均数为.

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：①是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；②是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；④是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.

8．年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从年下半年的会员中随机调查了个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下：

根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级：

（1）根据这个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；

（2）以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立

（i）若从下半年的所有会员中随机选取个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率；

（ii）若从下半年的所有会员中随机选取个会员，记评分非常满意的会员的个数为，求的分布列，数学期望及方差.

【答案】（1）可估算该购物网店会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为和；（2）（i）0.272；（ii）见解析.

【解析】试题分析：（1）由给出的个数据可得，非常满意的个数为，不满意的个数为，比较满意的个数为，由此可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；

（2）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件，则.

（ii）的可能取值为，由题意，随机变量

由此能求出的分布列，数学期望及方差.

（2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件，则.

（ii）的可能取值为，

，

，

，

，

则的分布列为

由题可知.

9．共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.

（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；

（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为，求的分布列与数学期望.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件，利用概率乘法公式及加法公式得到所求概率；

（2）的取值为0,1,2,3,明确相应的概率值，得到分布列及相应的数学期望.

故随机变量的分布列为

的数学期望.

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

10．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理” 的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的.

（1）求甲、乙两人都选择社区医院的概率；

（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；

（3）设在4名参加保险人员中选择社区医院的人数为，求的分布列和数学期望及方差.

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，由于他们的选择是相互独立，故利用乘法公式可求；
（2）先求甲、乙两人选择同一个社区医院的事件的概率，再求甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率；
（3）确定随机变量ξ可能取的值，计算相应的概率，即可得到ξ的分布列和数学期望及方差.

(2)设“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件B，那么

P(B)＝C××＝，

所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率

P()＝1－P(B)＝.

依题意ξ～B(4，)，

所以P(ξ＝k)＝C×()k×()4－k＝C×.

故ξ的分布列为

所以ξ的数学期望E(ξ)＝4×＝.

方差D(ξ)＝4××(1-)＝

11．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如下表：

（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？

参考公式：（）

附表：

（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；

（3）以（2）中的频率作为概率.该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为，求的数学期望.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

试题解析：(1)根据列联表计算观测值

，

因为K2<3.841，

所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，

不能认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”；

12．一企业从某生产线上随机抽取40件产品，测量这些产品的某项技术指标值，得到如下的频数表

（1）估计该技术指标值的平均数（以各组区间中点值为代表）；

（2）若，则该产品不合格，其余合格产品。产生一件产品，若是合格品，可盈利100元，若不是合格品则亏损20元。从该生产线生产的产品中任取2件，记为这2件产品的总利润，求随机变量的分布列和期望值。

【答案】（1）；（2）252

【解析】试题分析：（1）以各组区间中点值为代表，可得平均值；

（2）由题意合格率，不合格率，的取值为200，80，-40，由二项分布可得的分布列及期望值.

试题解析：

（1）平均值

（2）合格率，不合格率，的取值为200，80，-40

，，

的分布列为：

期望

13．2017年3月29日，中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机AG600将于2017年5月计划首飞，AG600飞机的用途很多，最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测、根据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有10起灾情，其中森林灭火2起，水上救援3起，物资运输5起，现从10起灾情中任意选取3起.

（1）求三种类型灾情中各取到1个的概率；

（2）设x表示取到的森林灭火的数目，求x的分布列与数学期望.

【答案】（1）（2）分布列见解析，

【解析】试题分析：（1）利用古典概型的概率公式求解即可．（2）随机变量X的取值为：0，1，2，曲线概率，即可得到分布列，然后求解期望即可．

．

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

14．某次有600人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定85分及其以上为优秀. 

（Ⅰ）现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；

（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为，求的分布列与数学期望.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设其中成绩为优秀的学生人数为，根据40人中优秀的比例等于600人中优秀的比例，建立等式，解之即可；
（Ⅱ）的取值为0，1，2，然后利用超几何分布求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．

所以的分布列为

所以随机变量的数学期望

15．第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法选中的“高个子”有2人，“非高个子”有3人．由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一人是“高个子”的概率．
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．

（２）依题意，的取值为．

　，　　　，

　，．

　因此，的分布列如下：

．

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

16．2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.

（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：

请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；

（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.

参考公式及数据：.

【答案】(1)线性回归方程为,当时，.(2).

【解析】试题分析：（1）依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.（2）是离散型随机变量，它服从超几何分布，故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可.

（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.

，

.

所以的分布列为