推荐系统之矩阵分解模型-原理篇

第二篇（本文）讲的是MF的数学原理，包括MF模型的目标函数和求解公式的推导等。第三篇将会回归现实，讲述MF算法在图文推荐中的应用实践。

1.显式数据和隐式数据

MF用到的用户行为数据分为显式数据和隐式数据两种。显式数据是指用户对item的显式打分，比如用户对电影、商品的评分，通常有5分制和10分制。隐式数据是指用户对item的浏览、点击、购买、收藏、点赞、评论、分享等数据，其特点是用户没有显式地给item打分，用户对item的感兴趣程度都体现在他对item的浏览、点击、购买、收藏、点赞、评论、分享等行为的强度上。

显式数据的优点是行为的置信度高，因为是用户明确给出的打分，所以真实反映了用户对item的喜欢程度。缺点是这种数据的量太小，因为绝大部分用户都不会去给item评分，这就导致数据非常稀疏，同时这部分评分也仅代表了小部分用户的兴趣，可能会导致数据有偏。隐式数据的优点是容易获取，数据量很大。因为几乎所有用户都会有浏览、点击等行为，所以数据量大，几乎覆盖所有用户，不会导致数据有偏。其缺点是置信度不如显式数据的高，比如浏览不一定代表感兴趣，还要看强度，经常浏览同一类东西才能以较高置信度认为用户感兴趣。

根据所使用的数据是显式数据还是隐式数据，矩阵分解算法又分为两种[4,6]。使用显式数据的矩阵分解算法称为显式矩阵分解算法，使用隐式数据的矩阵分解算法称为隐式矩阵分解算法。由于矩阵分解算法有众多的改进版本和各种变体[4,5,6,7,8,9,10,11]，本文不打算一一列举，因此下文将以实践中用得最多的矩阵分解算法为例，介绍其具体的数据原理，这也是spark机器学习库mllib中实现的矩阵分解算法[4,6]。从实际应用的效果来看，隐式矩阵分解的效果一般会更好。

2.显式矩阵分解

在本系列第一篇文章中，我们提到，矩阵分解算法的输入是user对item的评分矩阵(图1等号左边的矩阵)，输出是User矩阵和Item矩阵(图1等号右边的矩阵)，其中User矩阵的每一行代表一个用户向量，Item矩阵的每一列代表一个item的向量。User对item的预测评分用它们的向量内积来表示，通过最小化预测评分和实际评分的差异来学习User矩阵和Item矩阵。

2.1 目标函数

为了用数学的语言定量表示上述思想，我们先引入一些符号。设r_{ui}表示用户u对物品i的显式评分，当r_{ui}>0时，表示用户u对物品i有评分，当r_{ui}=0时，表示用户u对物品i没有评分，x_u表示用户u的向量，y_i表示物品i的向量，则显式矩阵分解的目标函数为：

\underset{X,Y}{min}\sum_{r_{ui}\neq0}\left(r_{ui}-x_u^Ty_i\right)^2+\lambda\left(\sum_u||x_u||_2^2+\sum_i||y_i||_2^2\right) \\

其中x_u和y_i都是k维的列向量，k为隐变量的个数，X=\left[x_1, x_2, \cdots, x_N\right]是所有x_u构成的矩阵，Y=\left[y_1, y_2, \cdots, y_M\right]为所有y_i构成的矩阵，N为用户总数，M为物品总数，\lambda为正则化参数。

在上述公式中，x_u^Ty_i为用户向量与物品向量的内积，表示用