黑河-腾冲线（胡焕庸线）所使用的是哪一种投影？

很有意思的问题！我觉得由浅入深，至少可以从三个角度来思考：

1. 在不同的地图投影下，连接黑河-腾冲的直线段，他们之间有多大差别？
   
2. 在不同的地图投影下，哪一条线是更有效地划分了人口分布？如何定义有效性？
   
3. 不考虑连接具体某两个城市，那么最有效划分人口的线应该在哪里？
   

下面依次回答这三个问题。

首先需要获取人口数据。数据来源[2]，本问题下采用 2005 年的人口数据进行分析。

人口分布如下图。采用标准 Albers 投影，参数采用[1]中所述

上图中颜色越深表面人口密度越大。

• 在不同的地图投影下，连接黑河-腾冲的直线段，他们之间有多大差别？
  

根据[1]，中国全图所用的投影常见为 Albers 投影，也有用 Lambert 投影或者方位投影的。此外，

的答案里提到的 Mercator 投影，作为目前网络地图通用的投影，使用也非常广泛。因此，在这里我考虑的投影方式包括：Albers 投影，Lambert 投影，方位投影，Mercator 投影，大圆曲线。

将这几种投影方式下的直线段都画到一起（这里统一画到 Albers 投影的地图上）结果显示如下图，

其中，蓝色线是 Albers 投影下的直线段，粉色线是 Lambert 投影下的直线段，黑色线是方位投影下的直线段，红色线是 Mercator 投影方式下的直线段，青色线是大圆弧。

可以看到，除了 Mercator 投影差别较大，其他几种投影方式的结果相差甚微。差别最大的地方在内蒙古境内，局部放大如下图，

他们之间具体有多少差别呢？简单计算得到：

可以看到，除了 Mercator 投影之外，其他投影方式，对人口划分比例的影响不超过 0.3 个百分点，对国土面积划分比例的影响在 2 个百分点左右。

我认为，这种程度的差异，在讨论人口分布划分线的时候可以忽略。

• 在不同的地图投影下，哪一条线是更有效地划分了人口分布？如何定义有效性？
  

首先我们要明确一点：怎样的划分是对人口分布的最有效划分？直观上考虑，最好是划分的两部分之间人口差距越大越好，同时每一部分内部人口差距越小越好。应用这个思想，在统计上有个很实用的准则叫 Fisher 准则[4]，可以用来评价某种划分方式的有效性。

J=\frac{(m_1-m_2)^2}{s_1^2+s_2^2}

这里m_1和m_2是两部分的均值，s_1^2和s_2^2分别是两部分的方差。那么按照 Fisher 准则，我们可以计算一下不同地图投影下的黑河-腾冲线划分人口分布的有效性。

从 Fisher 准则指标看，Albers 投影下的黑河-腾冲线对人口划分是最有效的。并且我们再一次看到 Mercator 投影与其他几种投影方式有较大差距。除了 Mercator 投影外，其他不同投影方式对划分有效性指标的影响不超过 0.6%，从这个角度看，不同的投影方式（除了 Mercator 投影外）的影响可以忽略。

• 不考虑连接具体某两个城市，那么最有效划分人口的线应该在哪里？
  

在人口分布图上随意划出一条线，根据上面提到的 Fisher 有效性指标，计算两部分人口分布的差异性，遍历所有可能的划分形式，就可以找到最有效的划分了。根据前面的分析，不同投影方式对结果的影响不大，为简便起见，以下讨论均基于 Albers 投影进行。

然而这样计算效率太低，计算时间将会长得无法忍受，我们需要一些更高效的手段来进行计算。

假如说我们先按照某种方式进行划分，将人口分布图沿着划线的方向进行投影，可以得到一条曲线，

如上图，左图划线风向为东北-西南，右图划线方向为西北-东南，下方的曲线是人口分布沿着划线方向进行投影的结果。

可以看到，左图的曲线分布比较集中，大部分都集中在黑色分界线的右侧；而右图的曲线分布比较分散，整个轴上都有分布。

这样在不同角度对人口分布进行投影，就得到了人口分布随着划分角度变化的情况，在每一个角度下计算不同位置的划分形式，利用上一小节提到的有效性指标进行检验，就可以找到最有效的划分是怎样的了。

这种从不同角度对一个图像进行投影的变换，数学上叫 Radon 变换[3]。医疗中 CT 扫描成像的原理就是这个 Radon 变换。在这里我要对中国人口分布图进行一次 CT 扫描，找到最有效的人口划分线。

根据 Radon 变换的结果进行有效性指标的计算，结果如下图，

横轴表明分割线的角度，纵轴表示分割线距离图像中心的偏移量。暖色代表 Fisher 指标大。图中有效性指标最大的是角度48度，偏移量-451像素所对应的直线。画在图上就是这样的，

图中蓝色的线就是按照 Fisher 指标的最佳划分线，作为对比，紫色的线是原始的黑河-腾冲线。这条最佳划分线的南端仍然在腾冲附近，而北端将经过伊春附近。这条线的两部分，人口比例为 9.32/90.68，国土面积比例为 61.63/38.37，换句话说，在这条线的东侧，约 38% 的国土面积上集中了约 91% 的人口

• 最后总结与几点说明
  

1. 常见的中国地图投影包括 Albers 投影、Lambert 投影、方位投影。
   
2. 在常见的地图投影中，连接黑河-腾冲的直线段，包括连接二者的大圆弧线段，作为人口分布的划分线，所得结果几乎一致，相差很小。在中学地理教学中，我认为完全可以忽略这些差异。
   
3. 网络地图常用的 Mercator 投影中，连接黑河-腾冲的直线段偏离上述结论较远。
   
4. 按照 Fisher 准则判断，Albers 投影下的直线段对人口分布的划分更有效。
   
5. 按照 Fisher 准则判断，最佳的划分线南端仍然在腾冲附近，北端将经过伊春附近。
   
6. 本回答所采用人口数据来自于国家地球系统科学数据共享平台，并且采用的是2005年的人口统计数据，与胡焕庸先生当年采用的数据不相同。本回答仅作为脑洞大开的讨论，不作为严肃的科学依据。
   
7. #郑重申明# 本回答中地图数据来源于公开数据平台，没有包含台湾岛的统计数据，此为数据统计来源的差异，与本人政治立场无关。本回答以讨论学术问题为目的，谢绝借题发挥。
   

参考文献：

[1]

[2] 国家科技基础条件平台—国家地球系统科学数据共享平台（

）

[3]

[4]

答案应该是Lambert正轴等角割圆锥投影下的线段，若采用经过黑河-腾冲的大圆误差也在1%之内。

Albers投影与Lambert投影的区别目前还没有做出，有待进一步查阅考证。

多图预警！

如图，即我们认为的黑河-腾冲线，即胡焕庸线。

英文维基百科（还没有帆樯，让墙外面同学查的）：

The Heihe–Tengchong Line (simplified Chinese: 黑河-腾冲线; traditional Chinese: 黑河-騰衝線; pinyin: Hēihé-Téngchōng xiàn), also called the Aihui-Tengchong Line, is an imaginary line that divides the area of China into two roughly equal parts. It stretches from the city of Heihe to Tengchong County, diagonally across China.

其中我不认为可以从line一词中解读出它是直线，只能够确定是条线，但不影响我们的探究，当然在胡焕庸的时代，做一条curve有点难度吧。

这张图和其他若干版本的图都在告诉我们，这是一条直线，而且背景的中国地图采用的是正轴等角割圆锥投影，亦即Lambert投影。

关于地图投影学，我只能查阅相关文献。在没有帆樯和图书馆闭馆期间，想要找到好用的材料着实比较麻烦，现将需要的内容稍微列举如下。

将球面投影至平面一种分类方法是圆柱投影、圆锥投影和方位投影

圆柱投影中常用的即Mercator投影，就是一个矩形，优点是航海线路等角不变、时区可以很直观地显示，缺点是面积比例严重失调，赤道附近变小和极地附近变大。

圆锥投影细分为等角切圆锥投影和等角割圆锥投影，每种还有正轴、横轴和斜轴，最常见的就是正轴等角割投影，即Lambert投影。所谓等角割投影需要选取割线和圆的两个交点为基准，中国即取25°N和47°N，中央经线为105°E

接下来再看黑河-腾冲线

现行的各个版本，黑河-腾冲线都画在了Lambert等角割圆锥投影的地图上，因此我们也主要考察三种情况，即Mercator投影、Lambert投影和大圆。

来干货！

Mercator投影

百度地图采用的是Mercator投影，在百度地图上采用测量

考察处在黑河-腾冲线上的省市，可以很清楚的发现山西应当全省处于线的东南，而Mercator投影下该线已经将山西截去了很大一部分；除此之外河北西北和四川盆地的归属都显示，黑河-腾冲线不是Mercator投影下的线段

过黑河腾冲的大圆

google earth采用的是球形，未加投影，在google earth上测量

线上各省市的归属情况基本与传统的黑河-腾冲线一致，但是还存在很小误差，注意黄河在晋陕交界处，山西吕梁行政区域向西有一块凸出，侵入了陕西榆林，黑河-腾冲线是掠着这个突起的北部穿过；而在大圆弧中已经有少许偏离。

Lambert投影

现行中国地图1：100w比例尺及更广的地图，采用的是Lambert投影，在中国地图上测量

第一张图与传统的黑河-腾冲线已经十分接近，至少在地图上各个省份的行政区域用肉眼已经无法找出差别，因此黑河-腾冲线是画在Lambert投影上的线段。

第二张图是我估计的在同一张图中大圆弧和Lambert投影下黑河-腾冲线对比，用我的13.6寸的屏幕全部显示，两者最宽处也只有大约0.6mm，在手机上必须点击图片放大才能看出是两条线；在Lambert投影下大圆弧并不是一个标准的圆弧，而是北部曲率略大，这与Mercator投影的实质相一致——极地变形严重。两线最大距离出现在大约是“内蒙古自治区”那个“治”附近。

在这张图上初步估算两者的差别。在Lambert投影下圆弧近似为一个底边为黑河-腾冲线距离，高为两线最大距离且极小的一个畸形三角形。因为比例尺不一样，无法用图上的比例尺，这时可以用一个办法估算高，这个长度大约是琼州海峡的一半，查数据得，琼州海峡宽度大约为20km，因此高约为10km；而黑河-腾冲的距离google earth和百度地图给出的几乎无异，取3750km。因此这个误差面积为18750km²，亦即约为2万平方公里；又知中国国土面积约为963万平方公里，因此就面积而论，两者的误差在2‰数量级。这里只是粗略估计了面积的误差，人口的误差限于资料有限无法准确估计，但是也应该不会超过1％。

高斯-克吕格投影

我查到的高斯克吕格投影是分为3°带和6°带样子的像一瓣瓣切开的西瓜一样的图形，应该不是我们通常见到的一整个地图。

综上黑河-腾冲线是Lambert正轴等角割圆锥投影下的线段，若采用经过黑河-腾冲的大圆误差也在1%之内。

高斯-克吕格投影是一种等角横轴切椭圆柱投影。它是假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将

东、西各3°或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面而成的。该投影是19世纪20年代由德国数学家、天文学家、物理学家高斯最先设计，后经德国大地测量学家克吕格补充完善，故名高斯-克吕格投影，简称

。

这种投影，将中央经线投影为直线，其长度没有变形，与球面实际长度相等，其余经线为向极点收敛的弧线，距中央经线愈远，变形愈大。 赤道线投影后是直线，但有

。除

外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。经线和纬线投影后仍然保持正交。所有长度变形的线段，其长度变形比均大于1. 随远离中央经线，面积变形也愈大。若采用分带投影的方法，可使投影边缘的变形不致过大。我国各种大、中

采用了不同的高斯-克吕格投影带。其中大于1:1万的地形图采用3°带；1:2.5万至1:50万的地形图采用6°带。

估计当年胡焕庸老先生也没意识到地理坐标投影的问题。但我觉得他是在投影后的坐标系里连接黑河腾冲两点的。深究起来，黑河腾冲也不是理想的两个点，还要找到他们的城市重心。。。