辽宁省铁岭市民政局社会福利机构的工作监督检查公开运行流程如下：

1. 检查申请：申请人需要向辽宁省铁岭市民政局社会福利机构工作监督检查室提交检查申请，并填写相关表格。

2. 申请材料审核：检查室会对申请人提交的申请材料进行审核，包括申请人身份证明、申请检查的机构信息、检查申请等。

3. 检查计划制定：检查室会根据申请人提交的申请材料和申请类型，制定相应的检查计划，并在检查计划表中明确检查的时间、地点、检查内容等。

4. 检查实施：申请人按照检查计划表的内容，前往指定的检查地点进行实地检查，检查室会记录检查情况并在检查记录表中记录相关信息。

5. 检查报告撰写：检查室会根据申请人提交的检查报告，撰写相应的检查报告，并在报告表中明确报告的撰写内容、结果等信息。

6. 检查结果反馈：检查室会将检查结果反馈给申请人，包括检查结论、存在的问题等，申请人需要按照相关规定进行整改，并在整改结束后再次进行检查，以确保整改的效果。

7. 检查记录保存：检查室会对申请人提交的检查记录进行保存，以备日后查询。

辽宁省铁岭市民政局社会福利机构的工作监督检查公开运行流程旨在保障社会福利机构的正常运行，提高社会福利机构的质量，维护申请人的合法权益。申请人需要按照相关规定提交检查申请，并按照检查计划表的内容进行实地检查，检查室会记录相关信息，并反馈检查结果。