最优化理论与方法综述

北航最优化方法大作业参考

北航最优化方法大作业参考

1 流量工程问题 1.1 问题重述 定义一个有向网络G=(N,E)，其中N是节点集，E是弧集。令A是网络G的点弧关联矩阵，即N×E阶矩阵，且第l列与弧里(I,j)对应，仅第i行元素为1，第j行元素为-1，其余元素为0。再令b m=(b m1,…,b mN)T，f m=(f m1,…,f mE)T，则可将等式约束表示成： Af m=b m 本算例为一经典TE算例。算例网络有7个节点和13条弧，每条弧的容量是5个单位。此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对，具体的源节点、目的节点信息如图所示。这里为了简单，省区了未用到的弧。此外，弧上的数字表示弧的编号。此时，c=((5,5…,5)1 )T， ×13 根据上述四个约束条件，分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1× )。 13 图 1 网络拓扑和流量需求

1.2 7节点算例求解 1.2.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T） 转化为线性规划问题： Minimize c T x1 Subject to Ax1=b1 x1>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x1=20 1.2.2 算例2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T） Minimize c T x2 Subject to Ax2=b2 X2>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x2=20 1.2.3 算例3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T） Minimize c T x3 Subject to Ax3=b3 X3>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x3=40

最优化理论与方法

课程报告题目最优化理论与方法 学生姓名 学号 院系 专业 二Ｏ一二年十一月十日

最优化理论与方法综述 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。这就是我理解的整个课程的流程。在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。 20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。 最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。 最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。 一、最优化学习的必要性 最优化，在热工控制系统中应用非常广泛。为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大，或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

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最优化方法及其应用 作者：郭科 出版社：高等教育出版社 类别：不限 出版日期：20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载

最优化原理大作业

基于粒子群算法的神经网络在电液伺服系统中的应用 摘要：由于人工神经网络在解决具有非线性、不确定性等系统的控制问题上具有极大的潜力，因而在控制领域正引起人们的极大关注，并且已在一些响应较慢的过程控制中获得成功应用。由于电液伺服系统属 于非线性系统，因此本文利用神经网络控制电液伺服系统，并利用粒子群优化算法训练该神经网络的 权值。通过对神经网络的优化实现对电液伺服系统的控制。 关键词：神经网络电液伺服系统粒子群算法优化 近年来，由于神经网络具有大规模并行性、冗余性、容错性、本质的非线性及自组织自学习自适应能力，所以已成功地应用于众多领域。但在具有复杂非线性特性的机电设备的实时控制方面，虽然也有一些神经网络技术的应用研究，但距实用仍有一段距离。电液伺服系统就属于这类设备[1]。 神经网路在用于实时控制时，主要是利用了网络所具有的其输人——输出间的非线性映射能力。它实际上是通过学习来逼近控制对象的动、静态特性。也就是构造实际系统的神经网络模型[2]。本文利用神经网络控制一电液伺服系统，并利用粒子群优化算法训练该神经网络的权值，将结果与BP神经网络控制该系统的结果进行比较。从而得在电液伺服系统中引入神经网络是可行的。 1、粒子群算法 粒子群优化算法(Particle Swarm optimization, PSO)是一种进化计算技术, 由Eberhart博士和kennedy博士发明, 源于对鸟群捕食的行为研究, 粒子群优化算法的基本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解[3]。算法最初受到飞鸟和鱼类集群活动的规律性启发，利用群体智能建立了一个简化模型，用组织社会行为代替了进化算法的自然选择机制，通过种群间个体协作来实现对问题最优解的搜索[4]。 在找到这两个最优值时, 粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置 v[]=v[]+c1*rand()*(pbest[]-present[]) + c2*rand()*(gbest[]-present[]) present[]=persent[]+v[] 式中ω为惯性权重，ω取大值可使算法具有较强的全局搜索能力，ω取小值则算法倾向于局部搜索。一般的做法是将ω初始取0.9并使其随迭代次数的增加而线性递减至0.4，这样就可以先侧重于全局搜索，使搜索空间快速收敛于某一区域，然后采用局部精细搜索以获得高精度的解；c1、c2为两个学习因子，一般取为2；randl和rand2为两个均匀分布在(0，l)之间的随机数；i=1，2，?，m；k=1，2，?，d。另外，粒子在每一维的速度Vi都被一个最大速度Vmax所限制。如果当前粒子的加速度导致它在某一维的速度 超过该维上的最大速度Vmax，则该维的速度被限制为最大速度[5]。 粒子群算法流程如下： (一)初始化粒子群。设群体规模为m，在允许的范围内随机设置粒子的初始位置和速 度。 (二)评价每个粒子的适应值。 (三)调整每一个粒子的位置和速度。 (四)如果达到最大迭代次数genmax或误差达到最初设定数值终止迭代，否则返回(2)。 2、神经网络 神经网络一般由输入层、隐含层、输出层组成。对于输入信号，先向前传播到隐节点，经过节点作用函数后，再把隐节点的输出信息传播到输出节点，最后输出结果。节点的作用函数通常选取S 型函数f（x）=1/（1+e-x）。神经网络算法的学习过程分为正

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日） 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

最优化方法大作业答案

1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。试列出问题的数学模型。 解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x 2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解 max f=x 1+2x 2+x 3 s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形： Min 321x x x z -+= 224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x 646321=+++x x x x 列成表格：

1 2 1 610011460105122001112----- 可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得 1 2 1 2102310401162010021212 11-------- 再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得 1 2 12 32 30 210231040116201002121211- ------ 再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得 4 2 3 3 410120280114042001112--- 再迭代一次得 10 2 30 2 10 6 221023 1010213000421021013-- 选取最优解：

最优化方法大作业答案

武工院你们懂的 1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。试列出问题的数学模型。 解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x 2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解 max f=x 1+2x 2+x 3 s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形： Min 321x x x z -+= 224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x 646321=+++x x x x

列成表格： 00001216 100114 60105122001112----- 可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得 0000 1 2 121023 10 40116201002 1 21 211-------- 再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得 1 002 1232 30210231 040116201002121211-- ----- 再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得 4002 3 03410120280114042001112--- 再迭代一次得

10 23021 062 21023 1010 213 000421 2 10 13- - 选取最优解： 01=x 42=x 23=x 3. 试用DFP 变尺度法求解下列无约束优化问题。 min f （X ）=4（x 1-5）2+（x 2-6）2 取初始点X=（8，9）T ，梯度精度ε=0.01。 解：取I H =0,初始点()T X 9,8= 2221)6()5(4)(-+-=x x x f ??????--=?122408)(21x x x f ???? ??=?624)() 0(x f T x f d )6,24()()0()0(--=-?= )0(0)0()1(d x x α+= T )69,248(00αα--= ])669()5248(4min[)(min 2020)0(0)0(--+--?=+αααd x f )6()63(2)24()2458(8) (00)0(0)0(=-?-+-?--=+ααααd d x df 13077.013017 0≈= α ???? ??=???? ??--?+???? ??=21538.886153.462413077.098)1(x

最优化理论与方法论文

优化理论与方法

全局及个性化web服务组合可信度的动态规划评估方法摘要：随着Internet的快速发展,web服务作为一种软件构造形式其应用越来越广泛。单个web服务无法满足日益复杂的用户需求,web服务组合有效地解决了这个问题。然而,随着功能相似的web服务实例的不断出现,如何选择可信的web服务组合成为了人们关注的热点。服务选择依赖于web服务组合的评估结果,因此,本文主要从web服务组合着手,对其可信性进行研究,提供一种可信web服务组合评估方法。：针对web服务组合的全局及个性化问题,提出了基于全局的个性化web服务组合可信评估方法。从全局角度动态地调整评估模型;同时引入用户业务关注度来描述原子web服务对服务组合可信性的影响程度;结合前文的度量及评估方法,构建一个全局的个性化服务组合可信评估模型;并分析了模型的相关应用,给出了改进的动态规划模型。 关键字：web服务组合可信评价；全局个性化；动态规划； 0.引言 随着软件系统规模的日趋复杂，运行环境的不断开放，软件的可信性要求日益增加，可信软件成为了研究的热点。据《中国互联网发展状况统计报告》统计显示，截至2014年12月底，我国网民数量突破8亿，全年新增网民5580万。互联网普及率较上年底提升4个百分点，达到38。3%。因此，随着Internet 的广泛应用和网络技术的快速发展，面向服务的软件体系结构（SOA）作为一种新型的网络化软件应用模式已经被工业界和学术界广为接受。同时，网民对互联网电子商务类应用稳步发展，网络购物、网上支付、网上银行和在线旅游预订等应用的用户规模全面增长。因而，对web服务的可信性要求更高。单个

最优化方法及其Matlab程序设计

最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人，每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，降低成本，以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解。 数学模型建好以后，选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法（算法）浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里，对最优化算法做一个简单的分类，并对一些比较常用的典型算法进行解析，旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多，根据不同的分类依据可以得到不同的结果，这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如，在资源有限的情况下，如何合理使用人力、物力和资金等资源，以获取最大效益；如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等，使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原始材料等）为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期，随着计算机技术的发展，出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。

最优化方法大作业

发动机空燃比控制器 引言：我主要从事自动化相关研究。这里介绍我曾经接触过的发动机空燃比控制器设计中的优化问题。 发动机空燃比控制器设计中的最优化问题 AFR =a f m m && (1) 空燃比由方程（1）定义，在发动机运行过程中如果控制AFR 稳定在14.7可以获 得最好的动力性能和排放性能。如果假设进入气缸的空气流量a m &可以由相关单元检测得到，则可以通过控制进入气缸的燃油流量f m &来实现空燃比的精确控制。由于实际发动机的燃油喷嘴并不是直接对气缸喷燃油，而是通过进气歧管喷燃油，这么做会在进 气歧管壁上液化形成油膜，因此不仅是喷嘴喷出的未液化部分燃油会进入气缸，油膜 蒸发部分燃油也会进入气缸，如方程（2）。这样如何更好的喷射燃油成为了一个问题。 1110101122211ττττ?? ?? -?? ??????????=+????????-????????????-???? ? ??? ?? ????????? ?f f f v X x x u x x X x y =x && (2) 其中12、,==ff fv x m x m &&=f y m &,=fi u m &这里面，表示油膜蒸发量ff m &、fv m &表示为液化部分燃油、fi m &表示喷嘴喷射的燃油，在τf 、τv 、X 都已知的情况下，由现代控制理论知识，根据系统的增广状态空间模型方程（3） 0000001 1 011011114.70ττττ????-?? ??????????=-+-??????????????? ??????????????? ?? ??=?????? f f v v a X X u +q q m y q x x x &&& (3) 其中()0 14.7?t a q = y -m &。由极点配置方法，只要设计控制器方程（4），就可以 使得y 无差的跟踪阶跃输入，那么y 也能较好的跟踪AFR *a m /&。 12-- u =K q K x (4) 这里面的12、K K 确定，可由主导极点概念降维成两个参数12C ,C ，虽然都是最终稳态无差，但是目标是使得瞬态过程中y 和阶跃输入y r 的差异尽可能的小。所以原问

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为： 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

大连理工优化方法大作业MATLAB编程

function [x,dk,k]=fjqx(x,s) flag=0; a=0; b=0; k=0; d=1; while(flag==0) [p,q]=getpq(x,d,s); if (p<0) b=d; d=(d+a)/2; end if(p>=0)&&(q>=0) dk=d; x=x+d*s; flag=1; end k=k+1;

if(p>=0)&&(q<0) a=d; d=min{2*d,(d+b)/2}; end end %定义求函数值的函数fun，当输入为x0=（x1，x2）时，输出为f function f=fun(x) f=(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2; function gf=gfun(x) gf=[-4*x(1)*(x(2)-x(1)^2)+2*(x(1)-1),2*(x(2)-x(1)^2)]; function [p,q]=getpq(x,d,s) p=fun(x)-fun(x+d*s)+0.20*d*gfun(x)*s'; q=gfun(x+d*s)*s'-0.60*gfun(x)*s'; 结果： x=[0,1]; s=[-1,1]; [x,dk,k]=fjqx(x,s) x =-0.0000 1.0000 dk =1.1102e-016 k =54

function f= fun( X ) %所求问题目标函数 f=X(1)^2-2*X(1)*X(2)+2*X(2)^2+X(3)^2+ X(4)^2- X(2)*X(3)+2*X(1)+3*X(2)-X(3); end function g= gfun( X ) %所求问题目标函数梯度 g=[2*X(1)-2*X(2)+2,-2*X(1)+4*X(2)-X(3)+3,2*X(3)-X(2)-1,2*X(4)]; end function [ x,val,k ] = frcg( fun,gfun,x0 ) %功能：用FR共轭梯度法求无约束问题最小值 %输入：x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度 %输出：x、val分别是最优点和最优值，k是迭代次数 maxk=5000;%最大迭代次数 rho=0.5;sigma=0.4;

2011年下学期最优化理论与方法考试试卷(A)

中南大学考试试卷 2011--2012学年 1 学期 时间100分钟 最优化理论与方法 课程 48 学时 学分 考试形式： 闭 卷 专业年级： 信科08、应数08 总分100分，占总评成绩 70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上,可用中英文作答。 1.（15 points ） For an unconstrained optimization problem: ),(min x f Let )0(x be a given point, )0(d be a descent search direction at )0(x . (1) With the exact line search, show that there is a steplength 0α satisfying .0)()0()0(0)0(=+?d d x f T α (2)Show that when applied to a quadratic objective function, the Newton method with the exact line search terminates in at most one iteration. 2. （15 points ）For an unconstrained optimization problem: .2)(min 2 221x x x f += (1) Find a descent direction )0(d of f at .)1,1() 0(T x = (2) By the Armijo line search, find a steplength 0α along )0(d at .)0(x 3.（15 points ） （1）Let .2113???? ??=A Find two directions 1d and 2d such that 1d and 2d are conjugate with respect to the matrix A . （2）Show that when applied to a quadratic objective function, with the exact line search, the PRP conjugate gradient method is equivalent to the FR conjugate gradient method.

最优化大作业

最优化方法大作业 ---------用优化算法求解函数最值问题

摘要 最优化(optimization) 是应用数学的重要研究领域.它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。最优化问题一般包括最小化问题和最大化问题，而最大化问题可以通过简单的转化使之成最最小化问题。最小化问题分为两类，即约束最小化和无约束最小化问题。在此报告中，前两个问题属于无约束最小化问题的求解，报告中分别使用了“牛顿法”和“共轭梯度法”。后两个问题属于有约束最小化问题的求解，报告中分别用“外点法”和“内点法”求解。虽然命名不一样，其实质都是构造“惩罚函数”或者“障碍函数”，通过拉格朗日乘子法将有约束问题转化为无约束问题进行求解。再此报告中，“外点法”和“内点法”分别用了直接求导和调用“牛顿法”来求解无约束优化问题。 在此实验中，用“共轭梯度法”对“牛顿法”所解函数进行求解时出现错误，报告中另取一函数用“共轭梯度法”求解得到正确的结果。此实验中所有的函数其理论值都是显见的，分析计算结果可知程序正确，所求结果误差处于可接受范围内。 报告中对所用到的四种方法在其使用以前都有理论说明，对“外点法”中惩罚函数和“内点法”中障碍函数的选择也有相应的说明，另外，对此次试验中的收获也在报告的三部分给出。 本报告中所用程序代码一律用MATLAB编写。 【关键字】函数最优化牛顿法共轭梯度法内点法外点法 MATLAB

一，问题描述 1， 分别用共轭梯度发法和牛顿法来求解一下优化问题 ()()()()()4 41432243221102510min x x x x x x x x x f -+-+-++= 2， 分别用外点法和内点发求解一下优化问题 ?? ?≥-++0 1.min 212 231x x t s x x 二、问题求解 用牛顿法求解 ()()()()()4 414 322 432 21102510min x x x x x x x x x f -+-+-++= 1.1.1问题分析： 取步长为1而沿着牛顿方向迭代的方法称为牛顿法，在牛顿法中，初始点的取值随意，在以后的每次迭代中，()[] ()k k k k x f x f x x ??-=-+1 21，直到终止条件成立时停止。 1.1.2 问题求解 注：本程序编程语言为MATLAB ，终止条件为()162 110-≤?x f ，初始取值为 [10 10 10 10] M 文件（求解函数）如下： function s=newton1(f,c,eps) %c 是初值，eps 为允许误差值 if nargin==2 eps=; elseif nargin<1 error('') % return end syms x1 x2 x3 x4

大连理工大学优化方法上机大作业

2016年大连理工大学优化 方法上机大作业 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

2016年大连理工大学优化方法上机大作业学院： 专业： 班级： 学号： 姓名： 上机大作业1： 1.最速下降法：

function f = fun(x) f = (1-x(1))^2 + 100*(x(2)-x(1)^2)^2; end function g = grad(x) g = zeros(2,1); g(1)=2*(x(1)-1)+400*x(1)*(x(1)^2-x(2)); g(2) = 200*(x(2)-x(1)^2); end function x_star = steepest(x0,eps) gk = grad(x0); res = norm(gk); k = 0; while res > eps && k<=1000 dk = -gk;

ak =1; f0 = fun(x0); f1 = fun(x0+ak*dk); slope = dot(gk,dk); while f1 > f0 + 0.1*ak*slope ak = ak/4; xk = x0 + ak*dk; f1 = fun(xk); end k = k+1; x0 = xk; gk = grad(xk); res = norm(gk); fprintf('--The %d-th iter, the residual is %f\n',k,res); end x_star = xk; end >> clear >> x0=[0,0]'; >> eps=1e-4; >> x=steepest(x0,eps)

最优化大作业

最优化大作业 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

最优化方法大作业 ---------用优化算法求解函数最值问题

摘要 最优化(optimization) 是应用数学的重要研究领域.它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。最优化问题一般包括最小化问题和最大化问题，而最大化问题可以通过简单的转化使之成最最小化问题。最小化问题分为两类，即约束最小化和无约束最小化问题。在此报告中，前两个问题属于无约束最小化问题的求解，报告中分别使用了“牛顿法”和“共轭梯度法”。后两个问题属于有约束最小化问题的求解，报告中分别用“外点法”和“内点法”求解。虽然命名不一样，其实质都是构造“惩罚函数”或者“障碍函数”，通过拉格朗日乘子法将有约束问题转化为无约束问题进行求解。再此报告中，“外点法”和“内点法”分别用了直接求导和调用“牛顿法”来求解无约束优化问题。 在此实验中，用“共轭梯度法”对“牛顿法”所解函数进行求解时出现错误，报告中另取一函数用“共轭梯度法”求解得到正确的结果。此实验中所有的函数其理论值都是显见的，分析计算结果可知程序正确，所求结果误差处于可接受范围内。 报告中对所用到的四种方法在其使用以前都有理论说明，对“外点法”中惩罚函数和“内点法”中障碍函数的选择也有相应的说明，另外，对此次试验中的收获也在报告的三部分给出。 本报告中所用程序代码一律用MATLAB编写。 【关键字】函数最优化牛顿法共轭梯度法内点法外点法 MATLAB

一，问题描述 1， 分别用共轭梯度发法和牛顿法来求解一下优化问题 ()()()()()4 41432243221102510min x x x x x x x x x f -+-+-++= 2， 分别用外点法和内点发求解一下优化问题 ?? ?≥-++0 1.min 212 231x x t s x x 二、问题求解 1.1 用牛顿法求解 ()()()()()4 414 322 432 21102510min x x x x x x x x x f -+-+-++= 1.1.1问题分析： 取步长为1而沿着牛顿方向迭代的方法称为牛顿法，在牛顿法中，初始点的取值随意，在以后的每次迭代中，()[] ()k k k k x f x f x x ??-=-+1 21，直到终止条件成立时停止。 1.1.2 问题求解 注：本程序编程语言为MATLAB ，终止条件为()162 110-≤?x f ，初始取值为[10 10 10 10] M 文件（求解函数）如下： function s=newton1(f,c,eps) %c 是初值，eps 为允许误差值 if nargin==2 eps=1.0e-16; elseif nargin<1 error('')

最优化理论与方法

内点法基本原理 摘要：内点法是求解含不等式约束最优化问题的一种十分有效的算法。内点法通过构造障碍函数，求解一系列只含等式约束最优化问题，逐步得到原问题的最优解，具有找初始点容易、线性收敛、迭代次数少等特点。本文主要介绍了内点法的基本原理，障碍方法的一般步骤并分析了该方法的优缺点，进行了算例实践。 关键词：内点法；障碍方法；Newton法 The Theory of Interior Point Method Abstract: Interior point method is a very effective algorithm for solving optimization problems with inequality constrained. Interior point method is constructed to solve a series of optimization problems with equality constraints, and the optimal solution of the original problem is obtained, which has the characteristics of finding the initial point easier, linear convergence, less iteration number and so on. This paper mainly introduces the theory of interior point method, the general steps of barrier method and analyzing the advantages and disadvantages of the method. Key words: interior point method; barrier method;Newton method

最优化方法在计算机专业的应用

动态规划方法在计算机专业的应用 科目：最优化方法 姓名：*** 专业：计算机科学与技术 学号：201320405 指导老师：*** 日期：2014/1/9

动态规划方法在计算机专业的应用 摘要：最优化方法是一门很有用的学科，本文结合计算机专业，讨论了用动态规划方法解决计算最长公共子序列、最大字段和、背包问题的过程，并对比其它算法以说明动态规划方法的高效、实用。 关键词：动态规划，最优化，算法分析 Abstract: The optimization method is a useful discipline, this paper, a computer professional, discusses the process used to calculate the dynamic programming method to solve the longest common subsequence, the maximum field and, knapsack problem, and compared to other algorithms to illustrate the dynamic programming method efficient and practical. Keywords: dynamic programming, optimization, algorithm analysis 动态规划（dynamic programming）是通过结合子问题的解而解决整个问题的。（此处“programming”是指一种规划，而不是指写计算机代码。）动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下，若用分治法则会做很多不必要的工作，即重复地求解公共的子子问题。动态规划算法对每个公共的子子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算答案。 一、算法设计与优化 动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多可行解。

北航最优化方法大作业参考

1流量工程问题 1.1问题重述 定义一个有向网络G=(N,E)，其中N是节点集，E是弧集。令A是网络G的点弧关联矩阵，即N×E阶矩阵，且第l列与弧里(I,j)对应，仅第i行元素为1，第j行元素为-1， 其余元素为0。再令b m =(b m1 ,…,b mN )T，f m =(f m1 ,…,f mE )T，则可将等式约束表示成： Af m=b m 本算例为一经典TE算例。算例网络有7个节点和13条弧，每条弧的容量是5个单位。此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对，具体的源节点、目的节点信息如图所示。这里为了简单，省区了未用到的弧。此外，弧上的数字表示弧的编号。此时，c=((5,5 (5) 1×13 )T， 根据上述四个约束条件，分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x 12,x 13 ,…,x 75 ) 1×13 )。 图 1 网络拓扑和流量需求

1.27节点算例求解 1.2.1\ T） 1.2.2算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0] 转化为线性规划问题： Minimize c T x1 Subject to Ax1=b1 x1>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x1=20 1.2.3算例2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T） Minimize c T x2 Subject to Ax2=b2 \ X2>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x2=20 1.2.4算例3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T） Minimize c T x3 Subject to Ax3=b3 X3>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T