摘要：动态平衡问题是近几年高考的重点和热点。探究力的矢量三角形巧解五种类型动态平衡问题的实例，构造物理模型，以期培养考生物理学科的核心素养。
关键词：动态平衡；矢量三角形；核心素养；物理模型
动态平衡是指通过改变某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而物体一直处在一系列连续的平衡状态。动态平衡问题是近几年高考的重点和热点。对于受三力作用的动态平衡问题，若采用正交分解等方法进行定量计算较为繁杂，若将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形求解，明朗清晰，文章以探究力的矢量三角形巧解五种类型动态平衡问题的实例，构造物理模型，以期培养考生物理学科的核心素养。
一、模型1：一个力大小和方向均确定，一个力方向确定但大小不确定，另一个力大小和方向均不确定，依据动态三角形。
【例1】如图1所示，两条一样长的绳子AB和BC悬挂一物体静止，两条绳子和水平方向夹角都为60°。现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是( )
A．增大 B．减小
C．先减小，后增大 D．先增大，后减小
【解析】本题研究对象选结点Ｂ处于图2所示TA、TC、T三力平衡，将三个力按顺序首尾相接，可形成图3所示闭合三角形，用代表这三个力的有向线段作出力的一簇闭合三角形，采用力三角形图解讨论。由图可看出，TC先减小后增大。正确答案为选项C。
力三角形分析动态平衡问题的步骤为：（1）选某一状态对物体进行受力分析；（2）基于平衡条件作出力的矢量三角形；（3）由已知量的变化情况，作出矢量三角形的边和角变化；（4）判断未知量大小、方向的变化。2019年全国统一高考物理试卷(新课标1)第19题为此模型的试题。
【拓展训练】水平地面上有一物块，物块与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。现对物块施加一拉力F，使物块做匀速直线运动。设F的方向与水平地面成θ角，如图4所示，当θ从0逐渐增大到90°的过程中，物块的速度保持不变，则
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A．F一直减小 B．F一直增大
C．F先减小后增大 D．F先增大后减小
【解析】把弹力和滑动摩擦力等效成一个力，这个力的方向是不变的，再根据“动态三角形法”的思路分析。小球的受力如图5，把支持力FN和滑动摩擦力Ff合成为一个合力F合，由可知，。
依据平衡条件，将三个力按顺序首尾相接，形成如右图6所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，F合的方向始终和竖直方向成β角。
则由图可知，当θ从0逐渐增大到90°的过程中，F先减小后增大。正确答案为选项C。
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本题中物块是在重力、支持力、滑动摩擦力和拉力四个力作用下的动态平衡．先将地面施予物块的支持力N与摩擦力合成为方向不变的地面作用力F合，其与支持力的方向成角arctanμ，四力平衡转化为三力平衡，其中重力G不变，地面作用力F合为方向不变，归属于此模型的问题。
二、模型2：一个力大小和方向均确定，另外两个力大小和方向均不确定，但是三个力均与和一个几何三角形的三条边平行，依据相似三角形。
【例2】如图7所示，质量均可忽略不计的轻绳与轻杆，杆的A端用铰链固定，光滑轻质小滑轮在A点正上方，杆的B端悬挂一重力为G的物体，现将绳的一端系在杆的B端，用一拉力F把B端缓慢上拉，在杆到达竖直前，关于杆受到的弹力FN和绳子的拉力F的变化，以下说法正确的是 ( )
A．FN变大 B．FN变小
C．F变大 D．F变小
【解析】 本题研究对象选结点Ｂ处于三力平衡，使结点Ｂ在各个位置处于平衡的三个力中有B点受轻绳向下的拉力大小等于重力，方向竖直向下是确定的，另两个力的大小不定、方向变化，但这两个力的方向有依据：用拉力将B端缓慢上拉的过程中，B点受轻绳向下的拉力(其大小等于G)、沿BO方向的拉力F′(F′＝F)以及轻杆对B点的弹力FN′(FN′＝FN)的作用，由于B点处于动态平衡状态，且F′和FN′的大小和方向均在发生变化，故可用力三角形与几何三角形相似的方法进行解决。受力分析如图8所示，由图可知，力三角形与几何三角形AOB相似，即＝＝，由于重力G和AB的长度以及O、A两点间的距离都不变，故弹力FN′不变，拉力F′减小，可得FN不变，F减小。正确答案为选项D。
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此法是图解法的特例，一般研究对象受绳(杆)或其他物体的约束，在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下空间几何三角形相似和力的矢量三角形，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。用相似三角形法解决动态平衡问题的关键是构建一对相似的“几何三角形”与“矢量三角形”，常常应用某些力与杆、绳、圆半径、竖直线等共线或平行寻找相等的角。
三、 模型3：一个力大小和方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小和方向均不确定，依据三角形和圆。
【例3】 如图9所示，在《验证力的平行四边形定则》实验中，用A、B两只弹簧测力计把像皮条上的结点拉到某一位置O，这时两绳套AO、BO的夹角∠AOB小于90°，现保持弹簧测力计A的读数不变而改变其拉力方向使α角减小，那么要使结点仍在位置O，就应调整弹簧测力计B的拉力大小及β角，则以下操作方法中可行的是
A．增大B的拉力、减小β角 B．增大B的拉力、β角不变
C．增大B的拉力、增大β角 D．B的拉力大小不变、增大β角
?【解析】 本题研究对象选结点O处于三力平衡，橡皮条上的拉力F大小和方向均确定，弹簧测力计A的拉力FA大小确定，分析弹簧测力计B的拉力FB的变化情况。如图10所示，取点O为起始点，先作力F的矢量①，以其箭头端点为圆心，表示大小不变力FA的线段长为半径作圆，该圆的每条矢量②均为力FA矢量，从该圆周上点指向O点的各矢量③是弹簧测力计B的拉力FB矢量。因α角减小故在圆周上顺时针转动FA，画出表示三力关系的三角形图集。初始状态三力关系如△OO′A，在α角减小时线段③变长，即FB增大，而β角可能增大、不变或减小，三力对应成△OO′A3、△OO′A2、△OO′A1所示的关系，故正确答案为选项ABC。
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??模型3问题的方法是：先确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端以已知方向力为矢径作圆，从圆周上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段，勾画出一簇闭合的矢量三角形。由此可判断未知力的大小和方向的变化趋势。
四、 模型4： 一个力大小和方向均确定，另两个力大小和方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持不变，依据三角形和圆。
【例4】如图11所示装置，两根细绳系住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1，CB绳的拉力FT2的大小变化情况是( )
A．FT1先变小后变大 B．FT1先变大后变小
C．FT2一直变小 D．FT2最终变为零
【解析】本题研究对象选结点Ｃ处于重力、两绳的拉力而平衡，画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力保持不变，另两个力的夹角60°保持不变，类比圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形其中两边的中垂线交点为外接圆圆心画出外接圆，然后让另两个力的交点在圆周上按FT1、FT2的方向变化规律移动，便可知结果。
如图12所示，力的三角形的外接圆正好是以初态时的FT2为直径的圆，知FT1先变大到最大为圆周直径，然后变小，FT2一直变小，直到0。正确答案为选项BCD。2017年全国统一高考物理试卷(新课标1)第21题为此模型的试题。
五、模型5： 一个力大小和方向均确定，另两个力大小相等、但大小和方向均不确定，依据等腰三角形。
【例5】如图13所示，一刚性支架水平虚线MN的下端笔直竖
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立上，MN的端是半圆形。一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一物块G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点, 另一端从C点处沿支架缓慢地向最高点B靠近(C点和A点高度相等)， 则绳中的张力( )
A.先变大后不变 B.先不变后变大
C.先不变后变小 D.保持不变
【解析】本题研究对象选动滑轮处于三个拉力而平衡，绳的右端从C点移到N点时，如图14所示，设两绳的夹角为2θ，绳子总长为L，两竖直支架间的距离为s，由数学知识易得 sinθ＝，L、s不变，则θ保持不变。当绳的右端从N点向B点靠近时，L不变，s变小两绳的夹角减小, 如图15所示。
构建力的矢量三角形，将三个力按顺序首尾相接，构成一个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定, 如图16所示。由以上分析可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增大，则易由图看出力的变化规律，即绳中的张力先保持不变，后逐渐变小。正确答案为选项C。
总之，动态平衡问题中涉及典型的关键词是缓慢转动和缓慢移动等；其解题基本思路是化“动”为静，“静”中求动，在变中找到不变；其解题的技巧是画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同模型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。
参考文献：
[1] 沈晨．更高更妙的物理--冲刺全国高中物理竞赛? 第五版 [M]. 杭州：浙江大学出版社, 2017.