【本讲教育信息】
一. 教学内容:
几种特殊的平行四边形:矩形、菱形、正方形
[目标]
1.
理解正方形的定义与性质。
2. 掌握正方形的判定方法。
3. 掌握四边形与几种特殊平行四边形的关系。
二.
重点、难点:
1. 正方形的性质及判定方法的综合应用
2. 四边形与几种特殊平行四边形的关系及其分类。
三.
知识要点:
1. 正方形的定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。
★理解:正方形既是一种特殊的矩形(有一组邻边相等的矩形),又是一种特殊的菱形(有一个角是直角的菱形)。
2. 正方形的判定:
1)从平行四边形出发:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2)从矩形出发:有一组邻边相等的矩形是正方形。
3)从菱形出发:有一个角是直角的菱形是正方形。
3. 正方形的性质:
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质:
1)角——四个角都是直角;
2)边——四边相等,邻边垂直;对边平行且相等。
3)对角线——①相等;②互相垂直平分;③每条对角线平分一组对角。
4)是轴对称图形,有4条对称轴。
5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形。
6)正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等。
4. 正方形的面积:
正方形的面积,等于边长的平方,或者等于两条对角线乘积的一半。
5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系:
有一个直角 一组邻边相等
6. 四边形的分类:
【典型例题】
例1. 已知:如图,EG、FH过正方形ABCD的对角线交点O,EG⊥FH,求证:四边形EFGH是正方形。
分析:因EG⊥FH,现只须证EG、FH互相平分且相等。
证明:∵四边形ABCD为正方形
∴OB=OC ∠ABO=∠BCO=45°
∠BOC=90°=∠2+∠3
∵EG⊥FH ∴∠1+∠3=90°
∴∠1=∠2
∴△COF≌△BOE
∴OE=OF
同理可证:OE=OH=OG
∴EO+GO=FO+HO
即EG=FH
又∵EG⊥FH
∴四边形EFGH为正方形。
例2. 如图,已知:E是正方形ABCD的边AD的中点,F是DC上的一点,且DF=CD,求证:EF⊥BE。
分析:由边的数量关系求角是直角或垂直,通常是应用勾股定理的逆定理,在本题中,连结BF,只要证即可。
证明:如图,连结BF
∵四边形ABCD是正方形。
∴AB=BC=CD=DA
∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°
因为DF=CD,AE=DE=
AD
则设DF=A,∴DE=AE=2A,AB=4A
在Rt△ABE中,
在Rt△EFD中,
在Rt△BCF中,
∴
∴△BEF是直角三角形,且∠BEF=90°,∴BE⊥EF
例3. 如图,点M、N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半,求∠MAN。
分析:因为正方形四边相等,四角为90°,即AB=AD,∠B=∠ADC=90°,将△BAM搬到△DAM'处,即将△BAM绕点A按逆时针方向旋转90°到△DAM'的位置。
解:延长CD到M',使DM'=BM,
∵AD=AB,∠B=∠ADC=90°
则△BAM≌△DAM'
∴∠BAM=∠DAM' AM=AM'
∴∠MAM'=90°
∵△MCN的周长=BC+CD
∴MN=BM+DN=M'N
∴△AMN≌△AM'N(SSS)
∴∠MAN=∠MAM'=∠BAD=45°
例4. 如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥CD于E,PF⊥BC于F,求证:PA=EF。
分析:欲证PA=EF,需寻找与其都相等的第三条线,为此,想到连结PC。本题可以过点P作PM⊥AB于M,再证:△EPF≌△AMP。
证明:连结PC
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADB=∠CDB,AD=CD
∴△ADP≌△CDP(SAS) ∴PA=PC
∵PE⊥CD PF⊥BC ∠C=90°
∴四边形PECF是矩形。
∴PC=EF ∴PA=EF
思考:请同学们自己想想是否还有其他的证法
例5. 如图所示,由八个相同的小正方形拼成缺一个小正方形的图形,你能将它经过剪拼,得到一个正方形吗?
解:先按图(1)所示的方法裁剪,再按图(2)所示的方法进行拼接,就可得到一个正方形。
说明:运用图形的剪拼重组,可以改变原来图形的形状,变为面积相等的规则图形,其关键是分析比较“变形”前后的图形特征,寻求图形重新组合的方法.
例6. 如图,已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N。求证:MD=NM;
证明:取AD的中点F,连结MF
∴DF=AD=AB=MB
∵DM⊥MN ∴∠NMB+∠DMA=90°
∵∠ADM+∠DMA=90°
∴ADM=∠BMN
∵AF=AM ∴∠AFM=45° ∴∠DFM=135°
又∵∠MBN=135°
∴∠DFM=∠MBN ∴△DFM≌△MBN
∴MD=NM
说明:若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”,其余条件不变,则结论“MD=NM”仍成立。在AD上截取AF=AM,连结FM,同1方法类似证得△DFM≌△MBN,∴DM=NM
★ 关键是作辅助线构造全等三角形。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1. 若正方形的一条对角线长是3,则正方形的周长是_____。
2. 若正方形的面积是16,则它的对角线的长是_____。
3. 正方形BDEF的边长恰是正方形ABCD的对角线长,则正方形BDEF与正方形ABCD面积的比是( )
A. 4:1 B.
2:1 C. 2:1 D. 1:2
4. 正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,EC⊥AC,交过O点,且平行于BC的直线于E,则OE与AB的关系是( )
A. OE≤AB B. OE≥AB C. OE≠AB D. OE=AB
5. P是正方形ABCD内的一点,若△PAB是等边三角形,则∠PCD是( )
A. 60° B.
45° C.
30° D.
15°
6. 如图,已知四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成,求证:四边形EFGH是正方形。
分析:先证EFGH是矩形,再证有一组邻边相等;或者先证它是菱形,再证有一个角是直角。
7. 如图,已知,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC上的点,若有AE+CF=EF,求:∠EDF的度数。
【试题答案】
1. 设正方形边长为x,则,x=3,周长4x=12
2. 。正方形边长=
=4,对角线长=
=
3. C
∵BD是正方形ABCD的对角线
∴
∴
4. D 如图,∵AC⊥BD CE⊥AC ∴CE∥BD 又∵OE∥BC
∴四边形OBCE是平行四边形 ∴OE=BC=AB
5. D 如图,∵PA=AB=PB=BC ∠1=60°,∠2=30°
∠3==75° ∴∠PCD=90°-75°=15°
6. 证明:∵矩形ABCD的外角都是直角,HE,EF都是外角平分线,∠BAE=∠ABE=45°
∴∠E=90°, AE=BE
同理可证:∠F=∠G=90°
四边形EFGH是矩形
∵AD=BC
∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=∠EAB=∠EBA=45°
∴△ADH≌△BCF
∴AH=BF
∴AH+AE=BF+BE
∴HE=EF
∴四边形EFGH是正方形。
7. 解:延长BC到G,使CG=AE,连结DG,如图:
∴∠ADC=∠A=∠DCG=90°
∵AD=CD
∴Rt△ADE≌Rt△CDG
∴∠ADE=∠CDG DE=DG
∵EF=AE+FC=CG+FC=GF,DF=DF
∴△EFD≌△GFD ∴∠EDF=∠GDF
∵∠ADE+∠EDC=90°
∴∠EDC+∠CDG=∠EDG=90°
∴∠EDF=∠EDG=
×90°=45°
【做一做】
现有一块形如图所示的母子正方形板材,木工师傅想先把它分割成几块,然后适当拼接,制成某特殊形状的板面(要求板材不能有剩余,拼接时不重叠、无空隙). 请你按下列要求,帮助木工师傅分别设计一种方案:
(1)板面形状为非正方形的中心对称图形;
(2)板面形状为等腰梯形;
(3)板面形状为正方形.
请在方格中的图形上画出分割线,并在右边方格纸上相应地画出拼接后的图形.
分析:此题所提供的材料是“母子正方形”(由一个大正方形与一个小正方形连在一起的图形),同学们碰得不多,具有一定的挑战性,要求对中心对称图形的知识掌握比较牢固,在观察、分析、尝试、比较的基础上去剪拼。
解:(1)由于板面形状为非正方形的中心对称图形,因此可将上层的两个小正方形剪开(如图(1)),分别拼在下层的左右两侧(图(2));也可将下层右边的小正方形剪下一半(图(3)),拼在上层的右边(图(4));
(2)可拼成下图(2)、(4)两种等腰梯形;
(3)可拼成下图(2)、(4)两种正方形。
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