【本讲教育信息】

一. 教学内容：

几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形

 

 

[目标]

1. 理解正方形的定义与性质。

2. 掌握正方形的判定方法。

3. 掌握四边形与几种特殊平行四边形的关系。

 

二. 重点、难点：

1. 正方形的性质及判定方法的综合应用

2. 四边形与几种特殊平行四边形的关系及其分类。

 

三. 知识要点：

1. 正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。

★理解：正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特殊的菱形（有一个角是直角的菱形）。

2. 正方形的判定：

1）从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2）从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形。

3）从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。

3. 正方形的性质：

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质：

1）角——四个角都是直角；

2）边——四边相等，邻边垂直；对边平行且相等。

3）对角线——①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角。

4）是轴对称图形，有4条对称轴。

5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形。

6）正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等。

4. 正方形的面积：

正方形的面积，等于边长的平方，或者等于两条对角线乘积的一半。

5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：

有一个直角　　　　一组邻边相等

6. 四边形的分类：

 

【典型例题】

例1. 已知：如图，EG、FH过正方形ABCD的对角线交点O，EG⊥FH，求证：四边形EFGH是正方形。

分析：因EG⊥FH，现只须证EG、FH互相平分且相等。

证明：∵四边形ABCD为正方形

∴OB＝OC    ∠ABO＝∠BCO＝45°

∠BOC＝90°＝∠2＋∠3

∵EG⊥FH　　　∴∠1＋∠3＝90°　

∴∠1＝∠2

∴△COF≌△BOE

∴OE＝OF

同理可证：OE＝OH＝OG

∴EO＋GO＝FO＋HO

即EG=FH

又∵EG⊥FH

∴四边形EFGH为正方形。

 

例2. 如图，已知：E是正方形ABCD的边AD的中点，F是DC上的一点，且DF＝CD，求证：EF⊥BE。

分析：由边的数量关系求角是直角或垂直，通常是应用勾股定理的逆定理，在本题中，连结BF，只要证即可。

证明：如图，连结BF

∵四边形ABCD是正方形。

∴AB＝BC＝CD＝DA

∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°

因为DF＝CD，AE＝DE＝AD

则设DF＝A，∴DE＝AE＝2A，AB＝4A

在Rt△ABE中，

在Rt△EFD中，

在Rt△BCF中，

∴

∴△BEF是直角三角形，且∠BEF＝90°，∴BE⊥EF

 

例3. 如图，点M、N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN。

分析：因为正方形四边相等，四角为90°，即AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，将△BAM搬到△DAM'处，即将△BAM绕点A按逆时针方向旋转90°到△DAM'的位置。

解：延长CD到M'，使DM'＝BM，

∵AD＝AB，∠B＝∠ADC＝90°

则△BAM≌△DAM'

∴∠BAM＝∠DAM'    AM＝AM'

∴∠MAM'＝90° 

∵△MCN的周长＝BC＋CD

∴MN＝BM＋DN＝M'N

∴△AMN≌△AM'N（SSS）

∴∠MAN＝∠MAM'＝∠BAD＝45°

 

例4. 如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥CD于E，PF⊥BC于F，求证：PA＝EF。

分析：欲证PA＝EF，需寻找与其都相等的第三条线，为此，想到连结PC。本题可以过点P作PM⊥AB于M，再证：△EPF≌△AMP。

证明：连结PC

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ADB＝∠CDB，AD＝CD

∴△ADP≌△CDP（SAS）　　∴PA＝PC

∵PE⊥CD　PF⊥BC　　∠C＝90°

∴四边形PECF是矩形。

∴PC=EF　　　∴PA＝EF

思考：请同学们自己想想是否还有其他的证法

 

例5. 如图所示，由八个相同的小正方形拼成缺一个小正方形的图形，你能将它经过剪拼，得到一个正方形吗？

解：先按图（1）所示的方法裁剪，再按图（2）所示的方法进行拼接，就可得到一个正方形。

说明：运用图形的剪拼重组，可以改变原来图形的形状，变为面积相等的规则图形，其关键是分析比较“变形”前后的图形特征，寻求图形重新组合的方法.

 

例6. 如图，已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N。求证：MD＝NM；

证明：取AD的中点F，连结MF

∴DF＝AD＝AB＝MB

∵DM⊥MN　　　∴∠NMB＋∠DMA＝90°

∵∠ADM＋∠DMA＝90°

∴ADM＝∠BMN

∵AF＝AM　　∴∠AFM＝45°　　∴∠DFM＝135°

又∵∠MBN＝135°

∴∠DFM=∠MBN    ∴△DFM≌△MBN

∴MD＝NM

说明：若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝NM”仍成立。在AD上截取AF＝AM，连结FM，同1方法类似证得△DFM≌△MBN，∴DM＝NM

★ 关键是作辅助线构造全等三角形。

 

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 若正方形的一条对角线长是3，则正方形的周长是_____。

2. 若正方形的面积是16，则它的对角线的长是_____。

3. 正方形BDEF的边长恰是正方形ABCD的对角线长，则正方形BDEF与正方形ABCD面积的比是（　　）

A. 　4：1　　      B. 2：1　　    C. 2：1　　　      D. 1：2

4. 正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EC⊥AC，交过O点，且平行于BC的直线于E，则OE与AB的关系是（　　）

A. OE≤AB　　     B. OE≥AB　　     C. OE≠AB　　     D. OE＝AB

5. P是正方形ABCD内的一点，若△PAB是等边三角形，则∠PCD是（　　）

A. 60°　　          B. 45°                 C. 30°                 D. 15°

6. 如图，已知四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成，求证：四边形EFGH是正方形。

分析：先证EFGH是矩形，再证有一组邻边相等；或者先证它是菱形，再证有一个角是直角。

7. 如图，已知，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，若有AE＋CF＝EF，求：∠EDF的度数。

 

 

 

【试题答案】

1. 设正方形边长为ｘ，则，ｘ＝3，周长4x＝12

2. 。正方形边长＝＝4，对角线长＝＝

3.  C 

  

∵BD是正方形ABCD的对角线

∴

∴

4. D   如图，∵AC⊥BD　　CE⊥AC　　∴CE∥BD　　又∵OE∥BC

∴四边形OBCE是平行四边形　∴OE＝BC＝AB

5. D   如图，∵PA＝AB＝PB＝BC　　∠1＝60°，∠2＝30°

∠3＝＝75°　　∴∠PCD＝90°－75°＝15°

6. 证明：∵矩形ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角平分线，∠BAE＝∠ABE＝45°

∴∠E＝90°，　AE＝BE

同理可证：∠F＝∠G＝90°

四边形EFGH是矩形

∵AD＝BC

∠HAD＝∠HDA＝∠FBC＝∠FCB＝∠EAB＝∠EBA＝45°

∴△ADH≌△BCF

∴AH＝BF

∴AH+AE=BF+BE

∴HE=EF

∴四边形EFGH是正方形。

7. 解：延长BC到G，使CG＝AE，连结DG，如图：

∴∠ADC＝∠A＝∠DCG＝90°

∵AD＝CD

∴Rt△ADE≌Rt△CDG

∴∠ADE＝∠CDG　　DE＝DG

∵EF＝AE＋FC＝CG＋FC＝GF，DF=DF

∴△EFD≌△GFD　　　∴∠EDF＝∠GDF

∵∠ADE＋∠EDC＝90°

∴∠EDC＋∠CDG＝∠EDG＝90°

∴∠EDF＝∠EDG＝×90°＝45°

 

【做一做】

现有一块形如图所示的母子正方形板材，木工师傅想先把它分割成几块，然后适当拼接，制成某特殊形状的板面（要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙）. 请你按下列要求，帮助木工师傅分别设计一种方案：

（1）板面形状为非正方形的中心对称图形；

（2）板面形状为等腰梯形；

（3）板面形状为正方形.

请在方格中的图形上画出分割线，并在右边方格纸上相应地画出拼接后的图形.

    分析：此题所提供的材料是“母子正方形”（由一个大正方形与一个小正方形连在一起的图形），同学们碰得不多，具有一定的挑战性，要求对中心对称图形的知识掌握比较牢固，在观察、分析、尝试、比较的基础上去剪拼。

解：（1）由于板面形状为非正方形的中心对称图形，因此可将上层的两个小正方形剪开（如图（1）），分别拼在下层的左右两侧（图（2））；也可将下层右边的小正方形剪下一半（图（3）），拼在上层的右边（图（4））；

（2）可拼成下图（2）、（4）两种等腰梯形；

（3）可拼成下图（2）、（4）两种正方形。