光学差频的本质是二阶非线性效应,数学上可引入极化向量P⁽²⁾来描述

P⁽²⁾=(d₁₁ d₁₂ d₁₃ d₁₄ d₁₅ d₁₆

d₂₁ d₂₂ d₂₃ d₂₄ d₂₅ d₂₆

d₃₁ d₃₂ d₃₃ d₃₄ d₃₅ d₃₆)×(E²_x

E²_y

E²_z

E_yE_z

E_xE_z

E_xE_y)(1)

其中, d_ij(i=1, 2, 3, j=1,2,3,…,6)是极化率张量矩阵元,由非线性材料决定; E_x、 E_y及E_z分别为x, y及z方向的电场强度. GaAs属于4^-3m群, d₁₄=d₂₅=d₃₆=d=χ/2=274 pm/V^[8],其他张量矩阵元素均为0, χ为二阶极化系数.

在x、 y、 z方向上的极化分量为

{P^(THz)_x=d·E_yE_z

P^(THz)_y=d·E_xE_z

P^(THz)_z=d·E_xE_y(2)

根据泵浦光TE(只有z方向的电场, x和y方向都没有电场分布)和TM(只有z方向的磁场, x和y方向都没有磁场分布)两种模式,方程(2)所给出的极化分量可得到进一步简化.

考虑到需要在系统中局域太赫兹波,本研究选择利用在太赫兹频段具有负介电常数的材料,这里选用掺杂GaAs.

根据Drude模型,掺杂GaAs材料的介电常数^[9]为

ε(ω)=ε(∞)+(iσ)/(ωε₀)(3)

其中, ε(∞)=10.89, 是砷化镓在频率无穷大时的介电常数^[9]; ε₀≈8.854×10^-12 F/m 是真空的介电常数; σ是复电导率,且

σ=(10⁶ Ne² τ/m^*)/(1-iω_THzτ)(4)

其中, ω_THz为太赫兹波的角频率; N为GaAs中的载流子浓度(单位:cm^-3); e=1.6 ×10^-19 C,是电子电荷量; m^*=1.39×10^-32 kg,为载流子有效质量^[10]; τ为载流子的弛豫时间,且

τ=m^*μ_m/e(5)

对于n型掺杂的砷化镓,载流子的移动率μ_m可以近似表示为^[10]

μ_m=(0.94)/(1.0+(10^-17 N)^1/2)(6)

Fig.2 Real and imaginary parts of permittivity for n-doped GaAs with different doping concentrations">图2给出两种n型掺杂浓度下砷化镓介电常数的实部与虚部. 考虑到本研究所模拟太赫兹波的频率集中在11.7 THz附近,因此需要找到较为合适的掺杂浓度以及相对应的砷化镓介电常数ε_T(如较大的实部绝对值,较小的虚部). 以下的场分布模拟实验发现,在11.7 THz附近的优化掺杂浓度为N=8.561×10¹⁸ cm^-3,对应的ε_T = -81.3+148.4i.

Fig.2 Real and imaginary parts of permittivity for n-doped GaAs with different doping concentrations">

图2 不同n型掺杂浓度下砷化镓介电常数的实部和虚部
Fig.2 Real and imaginary parts of permittivity for n-doped GaAs with different doping concentrations

为对环形微腔进行表征,以往研究分别采用了两个基本整数:角节点数m_i和径向节点数p_i(i=1,2,3, 模式序数1和2分别代表泵浦光和辅助泵浦光,3代表THz波谐振模式). 对于光学差频(difference frequency generation, DFG),环形微腔中的角节点数m_i应该满足相位匹配条件^[1-2]

Δm=m₁-m₂-m₃=±2(7)

DFG过程遵守能量守恒定律

ω_THz=ω₁-ω₂(8)

太赫兹波的转化效率不超过量子极限效率η_lim, 即

η_THz≤η_lim(9)

量子极限效率η_lim定义为

η_lim=Γ_TΓ₁ω_THz/ω₁(10)

其中, Γ₁(Γ_T)代表泵浦光(太赫兹波)的耦合效率,均为从直波导到微腔之间的耦合效率.

量子极限效率下的临界泵浦光功率P_cr为^[11]

P_cr=(ω₁)/(4|β|²Q₁Q₂Q_TΓ₁)(11)

其中, β为模式交叠因子,定义为

β=1/4×

(∫d³r∑_{i, j, k}ε₀ χ⁽²⁾_ijkE^*_1,i(E_{2, j}E_{T, k}+E_{T, j}E_{2, k}))/((∫d³r·ε₁|E₁|²)^1/2(∫d³r·ε₂|E₂|²)^1/2(∫d³r·ε_T|E_T|²)^1/2)(12)

其中, |β|²单位是J^-1; Q₁, Q₂ 和Q_T 分别表示混合微腔系统中泵浦光、辅助泵浦光和太赫兹波的谐振Q值. 由于临界泵浦光的功率与模式交叠以及3个模式的Q值之积成反比,因而需要提高模式交叠和3个模式的光学Q值,以获得较小的临界泵浦光输入功率,可在单光子探测方面获得应用^[12].

在量子极限转化条件下,即转化效率达到式(10)的定义值时,根据耦合模理论(coupled mode theory)^[8],输入辅助泵浦光的振幅s⁺₂与输入泵浦光的振幅s⁺₁满足

|s⁺₂|²=(ω₂|1-4/(ω₁)|β|²Q₁Q₂Q_TΓ₁|s⁺₁|²|²)/(16|β|²Q₁Q₂Q_TΓ₂)(13)

即

(|s⁺₂|²)/(P_cr)=(ω₂)/(4ω₁)(Γ₁)/(Γ₂)|1-(|s⁺₁|²)/(P_cr)|²(14)

由式(14)可见,当输入泵浦光的功率|s⁺₁|²等于临界功率P_cr时,输入的辅助泵浦光的功率|s⁺₂|²为0,即泵浦光完全转化为太赫兹波. 此现象称为泵浦光的完全下转化(complete down-conversion). 在接下来有关太赫兹功率输出的讨论中,需协同考虑辅助泵浦光、太赫兹波的上转化(up-conversion)以及泵浦光的下转化(down-conversion)两种情况.

为增强非线性效应,获得高的非线性DFG效果,需要提高Q值和模式交叠因子值β. 首先,需对泵浦光和辅助泵浦光这两个光学模式分别实现高Q值场局域. 其次,通过调整掺杂区和本征半导体之间的空气间隙宽度,使泵浦光、辅助泵浦光和太赫兹波同时满足相位匹配条件式(7)和能量守恒条件式(8),从而产生太赫兹波输出. 其中,THz波在系统中通过表面等离激元共振而获得亚波长局域,从而实现了高模式交叠因子β. 数值计算表明,在量子极限转换效率下,由式(11)所需的泵浦光功率为875.5 mW.

为显示泵浦光、辅助泵浦光和太赫兹波之间的模式交叠,分别研究泵浦光、辅助泵浦光和太赫兹波在混合微腔中的场分布情况. 1,z分布图
Fig.3 Electric field profile(E_1,z)of the pump at TE mode">图3给出泵浦光(TE模式)在耦合波导及环形腔中的电场分布情况,此处λ₁=1 462.7 nm,角节点数m₁=119, 径向节点数p₁= 4. 值得注意的是,这里的输入端位于直波导的下端口,输出端为直波导的上端口. 模拟过程中为避免光在边界处发生反射,除端口外的边界均设置为PML.

Fig.3 Electric field profile(E1,z)of the pump at TE mode">

1,z分布图
Fig.3 Electric field profile(E_1,z)of the pump at TE mode">图3 TE模式下泵浦光的电场E1,z分布图
Fig.3 Electric field profile(E1,z)of the pump at TE mode

T,z分布图
Fig.5 Magnetic field profile(H_T,z)of THz at TM mode ">图5给出太赫兹波(TM模式)在耦合波导及环形腔中的磁场分布情况,此处频率f_T=11.7 THz,角节点数m_T=1, 径向节点数p₃=3.

Fig.4 Magnetic field profile(H2,z)of the assisting pump at TM mode">

2,z分布图
Fig.4 Magnetic field profile(H_2,z)of the assisting pump at TM mode">图4 TM模式辅助泵浦光的磁场H2,z分布图
Fig.4 Magnetic field profile(H2,z)of the assisting pump at TM mode

Fig.5 Magnetic field profile(HT,z)of THz at TM mode ">

T,z分布图
Fig.5 Magnetic field profile(H_T,z)of THz at TM mode ">图5 TM模式下太赫兹波磁场HT,z分布图
Fig.5 Magnetic field profile(HT,z)of THz at TM mode

通过式(12)可知, E^*_1,z(E_2,xE_T,y+E_T,xE_2,y)在三维空间的积分正比于模式交叠因子β. Fig.6 The profile of the modal overlap β">图6为β在空间的分布情况,计算显示在相位匹配条件下,|β|²=16 J^-1. 其次, β的最大值出现在靠近环形腔的边缘区域,而旁边的直波导中没有分布. 我们还注意到,在本征GaAs与掺杂GaAs之间的狭窄空气间隙区域(g=102 nm), β≈0, 这是因为一般的光学回音壁模式无法存在于远离边缘的区域.

Fig.6 The profile of the modal overlap β">

图6 模式交叠因子β分布
Fig.6 The profile of the modal overlap β

考虑到太赫兹波长远大于波导的宽度,因此,以下关于THz波电场能量密度分布的数值模拟中,忽略波导处的THz波电场分布. 为预测太赫兹波在混合腔中的品质因子Q_T, 在如 Fig.7 Cross-sectional side view of THz mode profile in terms of electric energy density with the symmetry axis of the ring cavity on the cutting plane and parallel to the z axis">图7所示的4个边界处都添加了PML.

Fig.7 Cross-sectional side view of THz mode profile in terms of electric energy density with the symmetry axis of the ring cavity on the cutting plane and parallel to the z axis">

图7 THz波电场能量密度的横截面侧视图(切平面过环形腔对称轴,且与z轴平行)
Fig.7 Cross-sectional side view of THz mode profile in terms of electric energy density with the symmetry axis of the ring cavity on the cutting plane and parallel to the z axis

计算得Q_T=31, 模体积超越衍射极限,仅为4.3×10^-3(λ_THz/n_GaAs)³. 值得注意的是,通过引入掺杂砷化镓以及本征砷化镓与掺杂砷化镓区域之间的狭窄空气间隙(g=102 nm, 见 Fig.1 Schematic of the THz generation system built upon a hybrid micro-cavity which allows whispering gallery modes and plasmonic mode">图1中灰色区域),太赫兹波被限制在具有亚波长尺度的微腔中(如 Fig.1 Schematic of the THz generation system built upon a hybrid micro-cavity which allows whispering gallery modes and plasmonic mode">图1中灰色区域,或见 Fig.7 Cross-sectional side view of THz mode profile in terms of electric energy density with the symmetry axis of the ring cavity on the cutting plane and parallel to the z axis">图7中该狭窄空气间隙中的电场分布).

假设泵浦光(ω₁)和辅助泵浦光(ω₂)的输入功率相等. 计算显示,泵浦光、辅助泵浦光和太赫兹波的谐振Q值分别为Q₁=4.7×10⁵、 Q₂=1.6×10⁶和Q_T=31. 波导与微腔之间,泵浦光和辅助泵浦光的耦合效率分别为Γ₁=0.963 7和Γ₂=0.849 1. 考虑到太赫兹波的自由空间波长远大于混合腔的几何尺寸,且当Q_T较小时,太赫兹波更易于逃逸出腔外,使得太赫兹输出功率损耗仅为2.6%,这里假设太赫兹波的输出耦合效率为Γ_T=1.

通过耦合模理论^[8]分析,由式(11)～式(14)可以计算得到 Fig.8 The relationship between the normalized output power of THz wave and the input pump power">图8和 P<<P_cr)下,输出THz波功率P_T与输入泵浦光功率平方之间的关系.
Fig.9 The relationship between the output power of THz wave and the input power of pumping wave when P_P<<P_cr">图9,其分别为基于DFG的太赫兹波输出功率与泵浦光输入功率的关系曲线. 注意到 Fig.8 The relationship between the normalized output power of THz wave and the input pump power">图8中太赫兹波输出功率存在一个峰值,之后输出呈现饱和. 由式(10)可计算得到量子极限转化效率η_lim≈5.5%,对应的临界输入功率为P_cr=875.5 mW; 此情况(如 Fig.8 The relationship between the normalized output power of THz wave and the input pump power">图8中虚线)对应的THz输出功率为48.2 mW. THz波的最大输出功率为0.19P_cr(或166.3 mW),对应的泵浦光的输入功率约为6P_cr,太赫兹转化效率下降为3.2%.

Fig.8 The relationship between the normalized output power of THz wave and the input pump power">

图8 输出THz波功率与输入泵浦光的功率之间的关系
Fig.8 The relationship between the normalized output power of THz wave and the input pump power

Fig.9 The relationship between the output power of THz wave and the input power of pumping wave when PP<<Pcr">

P<<P_cr)下,输出THz波功率P_T与输入泵浦光功率平方之间的关系.
Fig.9 The relationship between the output power of THz wave and the input power of pumping wave when P_P<<P_cr">图9 小信号输入条件(PP<<Pcr)下,输出THz波功率PT与输入泵浦光功率平方之间的关系.
Fig.9 The relationship between the output power of THz wave and the input power of pumping wave when PP<<Pcr

最后,与同样采用环形腔进行三模耦合的文献[14]不同,本研究所探讨的混合腔可通过调节n掺杂浓度改变有效折射率,进而实现混合腔中THz谐振频率的变化,因而在频率调谐方面提供了另一种自由度; 其次,本研究直观显示出三模DFG发生的区域,即模式交叠区域; 最后,本研究对输出THz波功率与输入泵浦光的功率之间的关系,特别是饱和信号和小信号输入条件下的关系作了较深入分析.