真值表的出现是近代（19世纪）的事，成为传统逻辑过度到现代逻辑的重要标志。真值表在命题逻辑占有重要地位。

一，命题逻辑公式【1】

命题逻辑是一个形式系统，由命题公式和推理规则构成。从“形式”的角度，命题公式由逻辑运算符结合命题变元定义；从“内容”的角度，则可由真值表定义。这二种定义相辅相成，表达了形式与内容互补和同一的关系。 

二，真值表溯源【2】

真值表最初由美国逻辑学家皮尔士（Charles Sanders Peirce，1839–1914年）建立。作为逻辑学家，皮尔士一直保持对判断结论成立的条件感兴趣，他偏好图形学，结合对矩阵理论的研究，于1893年设计了真值表矩阵。同时期弗雷格、罗素等人在开发命题演算中运用真值表，维特根斯坦在《逻辑哲学论》中也利用真值表把真值函数置于序列中，《逻辑哲学论》的广泛影响导致了真值表的传播。

三，真值表的运用

1，形式语言中的运用

真值表可以用于命题逻辑语言的表达能力方面的研究。

例子1: 在由2个命题变元（例如P和Q）构成的语言中，问：有多少个等价公式？

答案：任何一个由2个变元构成的命题公式，其真值表有2^2= 4行，因此有4^2= 16个等价公式：

 

2，推理的运用

把逻辑推理表达为真值表的方式来解决，体现了计算思维的抽象特点。

例子2: （ 大学一年级“逻辑课”期中考试试卷）

一个人在标号为1，2，3的箱子中寻宝。宝物藏在其中一个箱子中；每个箱子上贴着1条提示，并且3条指示中只有1条是正确的。

 - 箱子1上的指示（i）: 宝物在这个箱子中；

 - 箱子2上的指示（ii）: 宝物不在这个箱子中；

 - 箱子3上的指示（iii）: 宝物不在箱子1中；

帮助此人推理得出宝物所在的箱子。

答案：

（1）形式化问题

  - 设命题变元：

    P1 : 宝物在箱子1中；

    P2 : 宝物在箱子2；

  - 表达3条指示：（i）p1；（ii）¬p2 ；（iii）¬p1

  - 表达2个前提：

（i）¬(p1 ∧ p2)：宝物在其中一个箱子中

（ii）p1 ⊕ ¬p2⊕¬p1：3条指示中只有1条是正确的 

（2）列出真值表进行判断

当p1=0，p2=1使得前提满足，所以宝物在第二个箱子中。

3，SAT问题

SAT问题（SATISFIABLITY problem）指判定一个给定的合取范式是否可满足。比如：

F = (x1 ∨x2 ∨x3)∧(x1 ∨x2 ∨¬x3)∧(¬x1 ∨¬x2 ∨¬x3) ∧ (¬x1 ∨ x2 ∨ x3)，x1=1，x2=1，x3=0， F=1， 故F是可满足的。

SAT问题是逻辑学的一个基本问题，也是计算复杂性理论中具有代表性的NP问题，解决SAT问题的基本算法“穷举法”就是基于真值表。

参考资料：

【1】 https://zh.wikipedia.org/wiki/命题逻辑

【2】PEIRCE’S TRUTH-FUNCTIONAL ANALYSIS AND THE ORIGIN OF TRUTH TABLES （ https://arxiv.org/pdf/1108.2429.pdf）

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